Put-Call Parity 看涨看跌平价

一句话定义

对于同一标的资产、相同行权价和到期日的 European call 和 put，存在一个确定的价格关系：Fiduciary call = Protective put，即 $c+PV(X)=S+p$。

概念解析 Explanation

Put-call parity 描述的是四种金融工具（call、put、stock、risk-free bond）之间的 no-arbitrage 均衡关系。它的推导基于一个简单的观察：

Fiduciary Call（信托看涨） = 1 份 European call + 1 份面值为 X 的零息债券

• 到期时 $S_T\ge X$：call 行权得 $S_T-X$，加上债券 $X$，总计 $S_T$
• 到期时 $S_T<X$：call 不行权价值 0，债券到期支付 $X$，总计 $X$

Protective Put（保护性看跌） = 1 股标的股票 + 1 份 European put

• 到期时 $S_T\ge X$：put 不行权价值 0，持有股票价值 $S_T$，总计 $S_T$
• 到期时 $S_T<X$：put 行权得 $X-S_T$，加上股票 $S_T$，总计 $X$

两个组合的到期 payoff 在所有情况下完全相同 = $\max (S_T,X)$。

由 no-arbitrage 原则，它们今天的价格也必须相同。

核心公式 Formula

$\boxed{c+X(1+Rf{)}^{-T}=S+p}$

其中：

• $c$ = European call option premium
• $p$ = European put option premium
• $S$ = 标的资产当前价格
• $X$ = 行权价（call 和 put 相同）
• $Rf$ = 无风险利率
• $T$ = 到期时间

四种合成证券

要合成的证券	公式	操作
Synthetic Call	$c=S+p-X(1+Rf{)}^{-T}$	Long stock + Long put + Borrow PV(X)
Synthetic Put	$p=c-S+X(1+Rf{)}^{-T}$	Long call + Short stock + Lend PV(X)
Synthetic Stock	$S=c-p+X(1+Rf{)}^{-T}$	Long call + Short put + Lend PV(X)
Synthetic Bond	$X(1+Rf{)}^{-T}=S+p-c$	Long stock + Long put + Short call

Put-Call-Forward Parity

当用 forward 替代标的资产时：

$c+X(1+Rf{)}^{-T}=F_0(T)(1+Rf{)}^{-T}+p$

等价形式：$p-c=[X-F_0(T)](1+Rf{)}^{-T}$

图解 Visual

flowchart TB
    subgraph FC["Fiduciary Call"]
        C[Call option c]
        B["Zero-coupon bond PV(X)"]
    end
    subgraph PP["Protective Put"]
        S["Stock S"]
        P[Put option p]
    end
    FC ---|"到期 payoff 相同: max(S_T, X)"| PP
    Result["No-arbitrage → c + PV(X) = S + p"]
    FC --> Result
    PP --> Result

计算示例 Worked Example

题目：股票现价 $S=52$，无风险利率 $Rf=5\%$，3 个月到期的 European put（$X=50$）报价 $p=1.50$。由于 call 市场不活跃没有报价，请估算 3 个月 $50 call 的合理价格。

解答：

由 put-call parity 求解 call：

$c=p+S-X(1+Rf{)}^{-T}$

$c=1.50+52-\frac{50}{1.05^{0.25}}$

$c=1.50+52-\frac{50}{1.01227}$

$c=1.50+52-49.39=4.11$

验证：

• 左边 (fiduciary call)：4.11 + 49.39 = 53.50$
• 右边 (protective put)：52 + 1.50 = 53.50$ ✓

套利检验：如果市场上 call 报价 4.50（高于理论值 4.11），如何套利？

• Call 太贵 → 卖出 call
• 同时买入 synthetic call（= long stock + long put + borrow PV(X)）
• 净收入：4.50 - 4.11 = 0.39$ 无风险利润

考试要点 Exam Focus

高频考点

1. 给三个求第四个 — 给出 c、S、PV(X) 中的三个，求 p（或任意一个）
2. 判断套利方向 — 如果 put-call parity 不成立，哪边便宜买哪边、哪边贵卖哪边
3. 合成证券的构建 — 给出目标头寸，写出等价的三个头寸组合
4. 前提条件 — European options only；same X, same T, same underlying

易错点

• Put-call parity 只适用于 European options，不适用于 American options
• Bond 的面值 = exercise price X，不是 stock price
• 合成证券中的正负号代表 long/short，别搞反

涉及科目 Appears In

• 衍生品 Derivatives — R74: Option Replication Using Put-Call Parity
• 衍生品 — 与 Forward Pricing 结合推导 put-call-forward parity
• 公司金融 — 将 equity 视为 call option 的分析也基于此

相关概念 Related Concepts

• Forward Pricing — Forward price 是 put-call-forward parity 的基础
• TVM — PV(X) 的计算依赖 TVM
• 风险溢价 — Options 定价中使用 risk-neutral valuation，消除了 risk premium