Backward Induction 逆向归纳
逆向归纳从树的终端节点开始，先确定每个末端状态的价值，再逐层折回估值日。它不是一种新的折现规则，而是把“下一期所有可能价值的风险中性期望”递归地应用到每个节点。
概念解析 Explanation
为什么必须从终点往回算
树模型给出的不是一条确定路径，而是每个时点可能出现的一组状态。根节点今天的价值取决于下一期各状态的价值；下一期的价值又取决于更后一层。只要终端 payoff 尚未确定，就无法从左向右直接得到中间节点价值。
Backward induction 因而是一种递归估值：
- 终端条件：在最右侧写入到期现金流或 payoff；
- 条件期望：站在某个节点，只看它能到达的下一层状态；
- 节点折现：用该节点适用的一期无风险利率或节点利率折现；
- 合约规则：如允许提前行权，再比较立即执行与继续持有；
- 重复递推：直到回到估值日。
它的本质与 货币时间价值相同，但把一个确定的未来现金流改成“在当前节点条件下的未来状态价值”。L1 的一期二叉树只做一次这项运算；多期树在每个节点重复执行。
一个节点究竟需要哪些输入
| 输入 | 回答的问题 | 常见误用 |
|---|---|---|
| 后继节点价值 | 下一期不同状态值多少 | 直接使用标的价格而非索取权价值 |
| 风险中性概率 | 如何对状态价值加权 | 把实际上涨概率代入无套利定价 |
| 节点利率 | 从下一期折回该节点用什么利率 | 全树都使用今天的同一个 YTM |
| 节点现金流 | 票息、分配或结算在哪一时点发生 | 把已支付票息再加一次 |
| 执行规则 | 是否允许 call、put 或美式提前执行 | 只在根节点比较执行价值 |
这里的“风险中性”不是预测市场状态的真实概率，而是一组能让复制组合和无套利价格一致的定价权重。
可重组树为什么能节省计算
在 recombining tree 中，先上后下与先下后上会到达同一状态，后续价值只取决于当前状态。这样第 期只有 个节点，而不是 个独立节点。
如果现金流还取决于到达该节点前发生过什么，合并路径就会丢失信息。例如 MBS 在利率第一次降到 4% 时可能出现大量提前偿还；第二次回到 4% 时，剩余借款人已经不同。此时“当前利率都是 4%”不足以决定现金流，需要保留路径历史或使用 Monte Carlo。
L2 把一期结构扩展为多期树，并同时用于两类问题：
| 场景 | 终端节点 | 向前一层折回时使用的量 |
|---|---|---|
| 股票或指数期权 | 到期 payoff | 风险中性概率、上下节点期权价值和无风险利率 |
| 债券与利率期权 | 债券/期权在末端状态的价值 | 节点短期利率、节点现金流和下一期价值 |
对无提前执行权的节点，通用递推形式为：
美式期权还要在每个节点比较：
因此，多期树的关键不是只算一次期望，而是每个节点都重新判断现金流、贴现率及提前执行。路径依赖证券还必须保留到达节点的历史状态，不能只凭当前节点价格合并路径。
欧式、美式与含权债的差别
- 欧式期权：中间节点只有 continuation value，到期才写 exercise payoff。
- 美式期权：每个可执行节点都取 exercise value 与 continuation value 的较大者。
- 可赎回债：发行人拥有 call，投资者节点价值受到 call price 上限约束。
- 可回售债：投资者拥有 put，节点价值受到 put price 下限保护。
这四类产品使用同一个回溯引擎，区别只在终端条件和节点执行规则。
核心公式 Formula
欧式索取权在节点 的继续价值为：
\frac{p^*(V_{t+1,u}+CF_{t+1,u})+(1-p^*)(V_{t+1,d}+CF_{t+1,d})} {1+r_{t,j}}.$$ 美式索取权的节点价值为： $$V_{t,j}=\max\left(EV_{t,j},CV_{t,j}\right),$$ 其中 $p^*$ 为风险中性上涨概率，$r_{t,j}$ 为当前节点的一期利率，$CF_{t+1,u/d}$ 为下一期相应状态支付的现金流，$EV$ 为立即执行价值。若两种状态现金流相同，可把 $CF$ 提到加权平均之外；若现金流在期初支付，则不应再随下一期价值一起折现。 ## 图解 Visual ~~~mermaid flowchart RL T["终端节点：写入 payoff"] --> T1["t = 1：计算继续价值"] T1 --> X1{"允许提前执行？"} X1 -->|"否"| V1["节点价值 = 继续价值"] X1 -->|"是"| M1["节点价值 = max(执行, 继续)"] V1 --> T0["t = 0：重复折回"] M1 --> T0 ~~~ ## 计算示例 Worked Example 某两期欧式 call 的终端价值为 $C_{uu}=21$、$C_{ud}=4$、$C_{dd}=0$，每期风险中性上涨概率为 $0.60$，每期无风险利率为 $5\%$。 先折回一期： $$C_u=\frac{0.60(21)+0.40(4)}{1.05}=13.52,$$ $$C_d=\frac{0.60(4)+0.40(0)}{1.05}=2.29.$$ 再折回估值日： $$C_0=\frac{0.60(13.52)+0.40(2.29)}{1.05}=8.60.$$ 若这是美式 put，且某一期节点的立即执行价值为 $6.00$、继续价值为 $5.40$，该节点应取 $6.00$，后续折回也必须使用 $6.00$。 ## 考试要点 Exam Focus 1. 先在所有终端节点写 payoff，再从最后一期逐层往左算。 2. 节点贴现率是该节点开始的一期利率，不是整条路径的平均利率。 3. 美式期权每个可执行节点都要比较 exercise value 与 continuation value。 4. 欧式期权到期前不能执行，不做 max 比较。 5. 路径依赖现金流不能错误合并成只由当前价格决定的重组树节点。 ## 涉及科目 Appears In - [[L2/subjects/fixed-income#244-向后归纳-backward-induction--los-24e|固定收益 R24：向后归纳]] - [[L2/subjects/derivatives#294-两期欧式二叉树-two-period-model|衍生品 R29：两期欧式二叉树]] - [[L2/subjects/derivatives#295-美式期权与提前行权-american-style-options|衍生品 R29：美式期权与提前行权]] ## 相关概念 Related Concepts - [[L1/concepts/Binomial-Model|Binomial Model 二叉树模型]] — 一期树和风险中性定价基础 - [[L2/concepts/Binomial-Interest-Rate-Tree|Binomial Interest Rate Tree 二叉利率树]] — 固定收益中的节点利率结构 - [[L1/concepts/Options|Options 期权]] — 终端 payoff 与提前执行权 - [[L1/concepts/Time-Value-of-Money|Time Value of Money 货币时间价值]] — 节点折现基础