Binomial Interest Rate Tree 二叉利率树

二叉利率树描述未来每一期短期利率的两种可能状态。节点利率先校准到当前期限结构，再用逆向归纳得到债券、含权债券和利率期权价值。

概念解析 Explanation

树上放的不是债券价格，而是一期利率

二叉利率树的每个节点 $i_{t,j}$ 表示：如果经济在 $t$ 时点处于状态 $j$，从 $t$ 到 $t+1$ 这一期适用的短期远期利率。它不是：

• 从今天到该节点的 spot rate；
• 债券持有至到期的 YTM；
• 该节点上某只债券的价格。

债券价格是把未来现金流沿树回溯后得到的结果。这个区分非常重要：把节点利率误读成 spot rate，会使用错误的折现期数；把它误读成 YTM，则会错误地用一个利率折现所有剩余现金流。

建树和用树是两个不同任务

建树/校准回答“哪些节点利率与今天的市场价格一致”。一棵可用于无套利定价的树通常同时满足：

1. 用它估值基准无权债，模型价等于市场价；
2. 同一节点期相邻利率的间距符合波动率假设；
3. 每一期的中间水平与当前 spot curve 隐含的一期 forward rate 相符。

用树估值则假定节点利率已经给定，从终端现金流开始做 backward induction。考试若直接给出树，通常不要求重新校准。

波动率决定“散开多少”，期限结构决定“整层放在哪里”

在课程采用的对数正态树中，相邻节点常满足：

$i_{t,j+1}=i_{t,j}{e}^{2\sigma }.$

$\sigma$ 越高，同一期上下状态越分散，含权债的期权价值通常越高。校准参数则整体上移或下移该期节点，使模型仍重现当前基准债价格。只提高波动率而不重新校准，会同时改变无权债价格，不再是同一市场环境下的比较。

该对数正态设定使利率不能为负，并让利率水平越高时绝对波动越大；这是模型性质，不是所有利率模型都必须满足的事实。

利率树与股票价格树的区别在于节点变量。利率树节点给出该节点开始的一期利率；债券价格是由这些未来贴现率递归产生的结果。

构造顺序为：

1. 选择利率过程和波动率假设；
2. 调整各期基准节点，使树对当前零息或附息债券价格无套利；
3. 在末端写入本金、票息或期权 payoff；
4. 按节点短期利率逐层折回；
5. 含提前执行权时，在每个可执行节点比较执行价值和继续价值。

校准要求模型价格与当前市场期限结构一致。树的波动率决定同一期上下节点的离散程度；校准项决定整层利率水平。二者不能混为一项。

含权债价值可写成：

$\text{callable bond}=\text{option-free bond}-\text{issuer call},$

$\text{putable bond}=\text{option-free bond}+\text{investor put}.$

R29 进一步把同一棵树用于债券期权、cap、floor 与 swaption；现金流时点和执行方决定节点 payoff。

为什么无权债可用 spot curve，含权债必须看路径和节点

无权债现金流固定，用每期 spot rate 逐笔折现即可。正确校准的利率树对同一无权债应给出相同价格，这是校准的反查。

含权债的未来现金流会随利率状态改变：利率下降时 callable bond 更可能被赎回，利率上升时 putable bond 更可能被回售。现金流与贴现率共同变化，单一 spot curve 无法表达节点执行决策，因此需要树。

0.5 概率的含义

本课程的无套利利率树常将上下风险中性概率都设为 $0.5$。它不表示市场认为利率真实上涨和下跌各有一半概率。节点水平已经通过校准吸收了当前期限结构信息；$0.5$ 是该模型的定价约定，不能改套股票树的 ${\pi }_U=(1+R_f-D)/(U-D)$。

核心公式 Formula

无权债券在节点 $(t,j)$ 的价值为：

$B_{t,j}=\frac{p^{\ast }{B}_{t+1,j+1}+(1-p^{\ast })B_{t+1,j}+C{F}_{t+1}}{1+r_{t,j}}.$

若课程树设风险中性上下概率均为 $0.5$：

$B_{t,j}=\frac{0.5B_u+0.5B_d+CF}{1+r_{t,j}}.$

含权债券还需应用节点执行规则：

$B_{t,j}^{callable}=\min \left(B_{t,j}^{straight},CallPric{e}_{t,j}\right),$

$B_{t,j}^{putable}=\max \left(B_{t,j}^{straight},PutPric{e}_{t,j}\right).$

图解 Visual

flowchart LR
    R0["r₀"] --> RU["r₁,u"]
    R0 --> RD["r₁,d"]
    RU --> RUU["r₂,uu"]
    RU --> RUD["r₂,ud"]
    RD --> RUD
    RD --> RDD["r₂,dd"]
    YC["当前收益率曲线"] -.校准.-> R0
    YC -.校准.-> RU
    YC -.校准.-> RD

计算示例 Worked Example

考虑一只两年期、年付息 7%、面值 100 的无权债。今天节点利率为 4.5749%；一年后的上、下节点利率分别为 7.1826% 和 5.3210%。到期时两个状态都支付本金加最后一期票息 107。

第一步，在一年后的两个节点分别折现终端 107：

$B_{1,U}=\frac{107}{1.071826}=99.830,$

$B_{1,D}=\frac{107}{1.053210}=\mathrm{101.594.}$

第二步，回到今天时，下一年还会收到第一期票息 7，所以：

\frac{0.5(99.830+7)+0.5(101.594+7)} {1.045749} =102.999.$$ 若一年后的下节点允许发行人按 100 赎回，原直债节点值为 101.594，callable bond 在该节点取： $$B_{1,D}^{callable}=\min(101.594,100)=100.$$ 随后回溯根节点时必须使用 100，而不是 101.594。这一步显示嵌入 call 如何截断利率下降时的价格上涨。 ## 考试要点 Exam Focus 1. 树上放的是一期短期利率，不是该节点债券 YTM。 2. 校准要求模型重现当前市场价格；波动率控制同层节点间距。 3. 先估值无权债，再应用 call/put 节点上限或下限。 4. Callable bond 对投资者不利用 $\min$；putable bond 对投资者有利用 $\max$。 5. 现金流发生时点、付息前后价格口径和节点贴现期数必须一致。 ## 涉及科目 Appears In - [[L2/subjects/fixed-income#243-二叉利率树-binomial-interest-rate-tree--los-24c|固定收益 R24：二叉利率树]] - [[L2/subjects/fixed-income#245-利率树校准-calibration--los-24d|固定收益 R24：利率树校准]] - [[L2/subjects/derivatives#296-债券期权的二叉树-options-on-bonds|衍生品 R29：债券期权的二叉树]] ## 相关概念 Related Concepts - [[L2/concepts/Backward-Induction|Backward Induction 逆向归纳]] — 从终端节点折回当前 - [[L1/concepts/Yield-Curve|Yield Curve 收益率曲线]] — 校准目标 - [[L1/concepts/Binomial-Model|Binomial Model 二叉树模型]] — 树模型的无套利基础 - [[L1/concepts/Options|Options 期权]] — 嵌入期权的执行规则