固定收益 Fixed Income

Level II | Readings: R23-R27

R23: 利率期限结构与利率动态 The Term Structure and Interest Rate Dynamics

Reading 23 | Modules 23.1–23.6 | LOS 23.a–23.k

graph LR
  A(("利率期限结构")) --- B["现货、远期与到期收益率"]
  A --- C["曲线交易"]
  A --- D["利差与基准曲线"]
  A --- E["期限结构理论"]
  A --- F["曲线风险与宏观判断"]
  B --- B1["远期定价与远期利率"]
  B --- B2["Bootstrap"]
  C --- C1["未来现货利率观点"]
  C --- C2["Roll down"]
  D --- D1["Swap / I / Z spread"]
  D --- D2["TED / MRR-OIS"]
  F --- F1["Effective / Key rate duration"]
  F --- F2["Level / Steepness / Curvature"]

23.1 现货利率、远期利率与到期收益率 Spot Rates, Forward Rates, and YTM — LOS 23.a

现货利率 $S_T$ 是在 $T$ 时点收到单笔现金流所适用的年化市场利率，也等于 $T$ 年期零息债券的到期收益率。面值为 1 的零息债券价格又称贴现因子：

$$P_T=\frac{1}{(1+S_T{)}^T}$$

远期利率 $f(j,k)$ 是今天约定、从第 $j$ 年开始、期限为 $k$ 年的贷款利率。面值为 1、在 $j+k$ 时到期的零息债券，若在第 $j$ 年交割，其远期价格为：

$$F_{(j,k)}=\frac{1}{[1+f(j,k){]}^k}$$

零息债券的 YTM 等于同期限现货利率。附息债券的各笔现金流由不同期限的现货利率折现；现货曲线不平坦时，附息债券 YTM 是这些现货利率的加权平均。

现货曲线平坦时，同期限的 spot rate、forward rate 与 YTM 相等。现货曲线上斜时，远期曲线位于现货曲线上方，$T$ 年期附息债的 YTM 低于 $S_T$；现货曲线下斜时，两项关系反向。

附息债券价格与 YTM

一只三年期、年付息 4%、面值 1,000 的债券，$S_1=5\%$、$S_2=6\%$、$S_3=7\%$。金额单位 USD。

$$\text{Price}=\frac{40}{1.05}+\frac{40}{1.06^2}+\frac{1,040}{1.07^3}=922.64$$

再以单一 YTM 求解：

$$N=3;PV=-922.64;PMT=40;FV=1,000;\mathrm{CPT}I/Y=6.94$$

因此 $y_3=6.94\%$。本例 $S_1<y_3<S_3$，到期本金的权重最大，所以 YTM 更接近 $S_3$。

债券的预期收益率（expected return）等于其收益率，需要同时满足三个条件：

1. 持有至到期；
2. 票息和本金均按时足额支付；
3. 票息按原始 YTM 再投资。

实际收益率（realized return）按持有期内实际再投资利率和实际现金流计算。现货曲线不平坦时，票息通常无法按原始 YTM 再投资，预期收益率会与 YTM 不同。

与 Level I 的衔接

L1 的 收益率曲线 已给出现货、远期、面值收益率的关系及附息债券逐笔折现；R23 沿用同一复利结构和 $f(j,k)$ 的“起点、期限”记号。R23 增加远期价格、远期曲线所隐含的持有期收益，以及主动管理如何利用未来现货利率偏离当前远期曲线。

23.2 远期定价模型与远期利率模型 Forward Pricing and Forward Rates — LOS 23.a

远期定价模型比较两条在 $j+k$ 时都收到 1 的路径：

• 今天买入一只 $j+k$ 年期零息债券，成本为 $P_{j+k}$；
• 今天签订远期，约定在第 $j$ 年以 $F_{(j,k)}$ 买入一只剩余 $k$ 年的零息债券；今天的成本等价于 $P_j{F}_{(j,k)}$。

无套利要求两条路径价格相同：

$$P_{(j+k)}=P_j{F}_{(j,k)}$$ $$F_{(j,k)}=\frac{P_{(j+k)}}{P_j}$$

两年后交割的三年期零息债券

已知 $S_2=4\%$、$S_5=6\%$：

$$P_2=\frac{1}{1.04^2}=0.9246,P_5=\frac{1}{1.06^5}=0.7473$$ $$F_{(2,3)}=\frac{0.7473}{0.9246}=0.8082$$

0.8082 是今天约定、两年后支付、用来买入一只届时剩余三年且到期支付 1 的零息债券的价格。也可把 $P_5$ 按两年期现货利率增值：$0.7473(1.04{)}^2=0.8082$。

远期利率模型比较“直接投资 $j+k$ 年”与“先投资 $j$ 年，再按已锁定的远期利率投资 $k$ 年”：

$$[1+S_{(j+k)}{]}^{j+k}=(1+S_j{)}^j[1+f(j,k){]}^k$$ $$[1+f(j,k){]}^k=\frac{[1+S_{(j+k)}{]}^{j+k}}{(1+S_j{)}^j}$$

沿用上例：

$$[1+f(2,3){]}^3=\frac{1.06^5}{1.04^2}\Rightarrow f(2,3)=7.35\%$$

曲线上斜时，覆盖后段期间的远期利率高于较长期限的现货利率；曲线下斜时方向相反。长期现货利率是一期现货利率和一系列一期远期利率的几何平均：

$$(1+S_T{)}^T=(1+S_1)[1+f(1,1)]\cdots [1+f(T-1,1)]$$

23.3 从面值曲线推导现货曲线 Bootstrapping — LOS 23.b

面值利率（par rate）是一只以面值交易的债券的 YTM，也等于其票面利率。Bootstrapping 逐期使用已求出的短期现货利率，求下一个期限的现货利率。

三年面值曲线的 Bootstrap

年付息面值曲线为：一年 1.00%、两年 1.25%、三年 1.50%。以面值 100 计算。

一年期：$S_1=1.00\%$。

两年期债券：

$$100=\frac{1.25}{1.01}+\frac{101.25}{(1+S_2{)}^2}$$ $$100=1.2376+\frac{101.25}{(1+S_2{)}^2}\Rightarrow (1+S_2{)}^2=1.0252\Rightarrow S_2=1.252\%$$

三年期债券：

$$100=\frac{1.50}{1.01}+\frac{1.50}{1.01252^2}+\frac{101.50}{(1+S_3{)}^3}$$ $$100=2.9483+\frac{101.50}{(1+S_3{)}^3}\Rightarrow (1+S_3{)}^3=1.0458\Rightarrow S_3=1.51\%$$

每一步都先折现较早的票息，最后一笔本金和票息只剩一个未知的现货利率。

23.4 远期曲线、现货利率演化与主动管理 Forward Curve Evolution — LOS 23.c

若未来现货利率完全按今天的远期曲线演化：

• 远期价格保持不变；
• 任意期限零息债券的一期持有期收益率都等于一期无风险现货利率。

未来现货利率低于当前远期曲线所隐含的水平时，远期价格上升，债券价格也高于当前曲线所预示的水平。主动管理人会买入其认为被高折现率低估的债券。未来现货利率高于当前远期曲线时，方向相反。

持有期收益与远期曲线

当前 $S_1=3\%$、$S_2=4\%$、$S_3=5\%$。一年后的预期现货利率恰好等于当前远期曲线：一年期 5.01%、两年期 6.01%。

$$f(1,1)=\frac{1.04^2}{1.03}-1=5.01\%$$ $$[1+f(1,2){]}^2=\frac{1.05^3}{1.03}\Rightarrow f(1,2)=6.01\%$$

初始债券	初始价格	一年后价格	一年持有期收益
一年期零息债	$1/1.03=0.9709$	1.0000	$(1/0.9709)-1=3\%$
两年期零息债	$1/1.04^2=0.9246$	$1/1.0501=0.9523$	$(0.9523/0.9246)-1=3\%$
三年期零息债	$1/1.05^3=0.8638$	$1/1.0601^2=0.8898$	$(0.8898/0.8638)-1=3\%$

三个期限都实现 3% 的一期收益。

23.5 沿收益率曲线滚降 Rolling Down the Yield Curve — LOS 23.d

收益率曲线上斜时，投资者可买入期限长于投资期的债券。随着债券剩余期限缩短，它沿曲线向左移动；若曲线形状和水平不变，估值所用收益率逐步下降，价格逐步上升。

一位投资期为五年的投资者面对以下 3% 年付息债券：

到期期限	收益率	价格（面值百分比）
5 年	3.0%	100.00
10 年	3.5%	95.84
15 年	4.0%	88.88
20 年	4.5%	80.49
25 年	5.0%	71.81
30 年	5.5%	63.67

若曲线五年内不变，买入五年期债券只取得 3% 票息并以面值到期；买入 30 年期债券的价格为 63.67，五年后变成剩余 25 年、价格 71.81，另有资本利得。

收益来自曲线保持上斜且现货利率低于先前远期曲线隐含水平。现货利率上升会削弱或消除滚降收益；借短买长的杠杆策略还承担短端融资成本上升风险。

23.6 互换利率曲线 Swap Rate Curve — LOS 23.e

普通利率互换的固定端利率称为 swap fixed rate（SFR）或 swap rate。不同期限的互换固定利率构成互换利率曲线。

市场参与者采用互换曲线作为信用市场基准，原因包括：

1. 互换利率反映商业银行信用风险，政府债券曲线反映主权信用风险；
2. 互换市场不受单一政府控制，各国互换利率更便于比较；
3. 互换曲线通常有较密集的期限报价。

大量使用互换管理利率风险的批发银行更常用互换曲线给资产和负债估值；零售银行更常用政府债券曲线。

名义本金为 1、期限为 $T$ 的年付互换，其固定端等价于一只以面值交易的债券：

$$\sum _{t=1}^T\frac{{\mathrm{SFR}}_T}{(1+S_t{)}^t}+\frac{1}{(1+S_T{)}^T}=1$$

互换利率曲线

MRR 现货利率为 $S_1=3\%$、$S_2=4\%$、$S_3=5\%$。

$$\frac{{\mathrm{SFR}}_1}{1.03}+\frac{1}{1.03}=1\Rightarrow {\mathrm{SFR}}_1=3.00\%$$ $$\frac{{\mathrm{SFR}}_2}{1.03}+\frac{{\mathrm{SFR}}_2}{1.04^2}+\frac{1}{1.04^2}=1\Rightarrow {\mathrm{SFR}}_2=3.98\%$$ $$\frac{{\mathrm{SFR}}_3}{1.03}+\frac{{\mathrm{SFR}}_3}{1.04^2}+\frac{{\mathrm{SFR}}_3}{1.05^3}+\frac{1}{1.05^3}=1\Rightarrow {\mathrm{SFR}}_3=4.93\%$$

23.7 利差度量 Spread Measures — LOS 23.f–23.g

Swap spread

同期限互换利率超过政府债券收益率的部分称为 swap spread：

$${\text{swap spread}}_t={\text{swap rate}}_t-{\text{Treasury yield}}_t$$

两年互换利率为 2.02%、两年美国国债收益率为 1.61% 时：

$$\text{swap spread}=2.02\%-1.61\%=0.41\%=41\text{ bps}$$

互换利差通常为正，反映商业银行相对政府的信用和流动性风险。对于无违约风险债券，互换利差可提示债券流动性或市场错价；时间价值已经体现在政府债券基准曲线中。

I-spread

I-spread 是信用风险债券 YTM 超过同期限互换利率的部分。缺少完全匹配期限的互换报价时，用线性插值。

一只 1.6 年到期债券的 YTM 为 2.35%；1.5 年互换利率 1.35%，2 年互换利率 1.50%：

$$\text{1.6-year swap rate}=1.35\%+\frac{0.10}{0.50}(1.50\%-1.35\%)=1.38\%$$ $$I\text{-spread}=2.35\%-1.38\%=0.97\%=97\text{ bps}$$

Z-spread

Z-spread 是加到无违约风险现货曲线每个期限上的常数，使债券现金流现值等于市场价格：

$$104.12=\frac{8}{1+0.04+Z}+\frac{108}{(1+0.05+Z{)}^2}$$

此例 $Z=0.008=80$ bps。zero volatility 表示假定利率波动率为零。含权债券的 Z-spread 还包含内嵌期权成本，不适合直接作为剔除期权后的信用补偿。

L1 的 信用利差 已列出 G-spread、I-spread、Z-spread 和 OAS 的基准差异。R23 增加互换利差、短期银行体系风险指标及互换曲线的估值用途。

TED spread 与 MRR-OIS spread

$$\text{TED spread}=\text{3-month MRR}-\text{3-month T-bill rate}$$

三个月 MRR 为 0.33%、三个月国库券利率为 0.03% 时，TED spread 为 0.30% 或 30 bps。MRR 反映商业银行借款风险，国库券视为无风险；TED spread 上升表示银行体系信用和流动性风险上升。

$$\text{MRR-OIS spread}=\text{MRR}-\text{OIS rate}$$

OIS 反映银行间无担保隔夜借贷利率，交易对手信用风险很低。MRR-OIS spread 同样衡量银行体系信用和流动性风险。

23.8 期限结构理论 Term Structure Theories — LOS 23.h

理论	远期利率的含义	风险溢价	曲线形状的解释
无偏预期理论 Unbiased expectations	未来现货利率的无偏预期	无	上斜表示预期短端上升；下斜表示预期短端下降；平坦表示预期不变
局部预期理论 Local expectations	短持有期内，各期限债券预期收益相同	短期风险中性，长期可有风险溢价	任意期限债券在短持有期内应赚取无风险利率
流动性偏好理论 Liquidity preference	预期未来现货利率加流动性溢价	随期限增加	上斜可来自预期利率上升，也可来自正的期限溢价；下斜意味着预期短端大幅下降
市场分割理论 Segmented markets	各期限市场独立定价	不由统一期限规律决定	每个期限的供求分别决定收益率
偏好栖息地理论 Preferred habitat	预期未来现货利率加供求驱动的溢价	可正可负，不随期限单调变化	足够补偿可诱使借贷双方离开偏好期限，能够解释多种曲线形状

无偏预期理论下，若一年期现货利率为 5%、两年期现货利率为 7%，一年后的一年期远期利率约为 9%。直接投资两年和先按 5% 投一年、再按 9% 投一年具有相同终值。

L1 的 收益率曲线 已介绍无偏预期、流动性偏好、市场分割和偏好栖息地理论。R23 增加局部预期理论，并明确各理论对远期利率是否带有期限溢价的判断。

23.9 收益率曲线风险 Yield Curve Risk — LOS 23.i

收益率曲线风险是曲线意外变动造成债券或组合价值变化的风险。三类度量各自处理不同的曲线变动：

度量	变动方式	适用范围
Effective duration	整条基准曲线小幅平行移动	水平变动；无法准确处理 shaping risk
Key rate duration	只变动一个关键期限的现货利率，其余不变	非平行移动及特定期限敞口
Level / steepness / curvature sensitivity	把曲线变动分解为水平、陡峭度和曲率三个因子	因子化管理曲线风险

Key rate duration 是关键期限现货利率变动 100 bps 时证券或组合价值的近似百分比敏感度。一个组合只有 1 年、5 年和 25 年三个敞口，$D_1=0.7$、$D_5=3.5$、$D_{25}=9.5$：

$$\frac{\Delta P}{P}\approx -D_1\Delta r_1-D_5\Delta r_5-D_{25}\Delta r_{25}$$ $$\frac{\Delta P}{P}\approx -0.7\Delta r_1-3.5\Delta r_5-9.5\Delta r_{25}$$

各关键利率久期之和等于组合 effective duration。

三因子模型写作：

因子	曲线变动
Level，$\Delta x_L$	各期限利率平行上移或下移
Steepness，$\Delta x_S$	长端利率上升、短端利率下降
Curvature，$\Delta x_C$	短端和长端利率上升，中段利率不变

$$\frac{\Delta P}{P}\approx -D_L\Delta x_L-D_S\Delta x_S-D_C\Delta x_C$$

若组合敏感度为 $D_L=4$、$D_S=5$、$D_C=3$，且 $\Delta x_L=-0.004$、$\Delta x_S=0.001$、$\Delta x_C=0.002$：

$$\frac{\Delta P}{P}\approx -4(-0.004)-5(0.001)-3(0.002)=0.005$$

组合价值预计上升 0.5%。L1 的 久期 已区分平行移动与 key rate duration；R23 增加三因子曲线分解和组合敞口表达式。

23.10 收益率波动率期限结构 Yield Volatility — LOS 23.j

收益率波动率期限结构描绘年化收益率变动标准差 $\sigma (t,T)$ 随到期期限的变化。典型形态向下倾斜：短期利率的波动率高于长期利率。

曲线区段	波动率主要关联的不确定性
短端	货币政策
长端	实体经济与通胀

利率波动驱动固收组合价格波动，含权证券对波动率尤其敏感。

23.11 宏观因素、曲线变动与交易 Economic Factors — LOS 23.k

通胀预测、GDP 增长和货币政策影响债券收益率。货币政策解释约三分之二的短期和中期收益率变动；通胀解释约三分之二的长期收益率变动，其余长期变动主要由货币政策解释。

债券风险溢价（bond risk premium，也称 term premium 或 duration premium）是投资长期政府债券相对一年期无风险利率的预期超额收益。若五年期政府债券预期一年持有期收益率为 4%，一年期无风险利率为 1%，债券风险溢价为 3%。

宏观或供求变化	收益率或曲线影响
扩张期收紧货币政策，短端升幅较大	Bearish flattening
衰退期下调短端利率，长端降幅较小	Bullish steepening
扩张性财政政策	收益率上升
限制性财政政策	收益率下降
某期限政府债券发行量增加	该期限供给和收益率上升
养老金、保险公司增持长债	长端收益率下降
市场动荡时 flight to safety	长期政府债收益率下降，可形成 bullish flattening

四类曲线变动：

变动	短端	长端	结果
Bullish steepening	降得更多	下降	变陡
Bearish flattening	升得更多	上升	变平
Bullish flattening	下降	降得更多	变平
Bearish steepening	上升	升得更多	变陡

预期利率上升时缩短组合久期；预期利率下降时延长久期。预期曲线变陡可做多短债、做空长债，并可把交易设计为久期中性以隔离水平变动。仅能做多的组合若预期 bullish flattening，可从 bullet 组合转向 barbell 组合。

23.12 item set 实操

graph TD
  A["先识别题目给的是 spot / par / forward / swap curve"] --> B{"要求价格、利率、利差还是持有期收益？"}
  B -->|"价格"| C["逐笔现金流按对应 spot 折现"]
  B -->|"远期利率"| D["比较两条相同终值的投资路径"]
  B -->|"利差"| E["先确认基准，再做相减或逐期加 spread"]
  B -->|"主动交易"| F["比较预期 spot 与当前 forward"]
  C --> G["核对期限与现金流"]
  D --> G
  E --> G
  F --> H["写出曲线水平、斜率与交易方向"]

题干线索	该答	最易混的	判别依据
曲线下斜，问 forward curve 相对位置	Forward 在 spot 下方	上斜时的位置	forward 是后段边际利率
未来 spot 低于当前 forward	买入债券或远期多头获益	把“低利率”误读成低价格	折现率下降使价格上升
上斜曲线保持不变，投资期短于债券期限	Roll down 可增加收益	到期匹配	剩余期限缩短后沿曲线使用更低收益率
债券 YTM 减同期限 swap rate	I-spread	Swap spread	Swap spread 用 swap rate 减政府债收益率
加到每个 spot rate 才能匹配市场价	Z-spread	I-spread	Z-spread 作用于整条现货曲线
银行 MRR 减短期国库券利率	TED spread	MRR-OIS	OIS 是隔夜指数互换利率
只改一个期限的现货利率	Key rate duration	Effective duration	Effective duration 对应平行移动
短端升得比长端多	Bearish flattening	Bearish steepening	整体利率上升且斜率下降

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R24: 无套利估值框架 The Arbitrage-Free Valuation Framework

Reading 24 | Modules 24.1–24.3 | LOS 24.a–24.i

graph LR
  A(("无套利估值")) --- B["一价定律"]
  A --- C["二叉利率树"]
  A --- D["路径估值"]
  A --- E["期限结构模型"]
  B --- B1["价值可加性"]
  B --- B2["支配关系"]
  C --- C1["校准"]
  C --- C2["Backward induction"]
  D --- D1["Binomial pathwise"]
  D --- D2["Monte Carlo"]
  E --- E1["Equilibrium models"]
  E --- E2["Arbitrage-free models"]

24.1 一价定律与无套利估值 Law of One Price — LOS 24.a

无套利估值给出一个不会让市场参与者通过该证券取得套利利润的价格。套利交易没有初始净现金流出，却会在未来产生正的无风险现金流。

两类套利条件：

条件	含义	典型交易
价值可加性 Value additivity	整体价值应等于各部分价值之和	债券与对应票息、本金 STRIPS 之间做 stripping 或 reconstitution
支配关系 Dominance	现金流完全相同的资产应有相同价格；同价资产中未来支付更高者占优	买入被低估资产，同时卖空被支配资产

一只五年期 5% 国债应与其票息和本金 STRIPS 组合等值。STRIPS 组合更便宜时，买入并重组为债券后卖出；完整债券更便宜时，买入债券、拆分 STRIPS 后卖出。

两类套利

金额单位 USD。

证券	当前价格	一年后支付
A	99	100
B	990	1,010
C	100	102
D	100	103

A 与 B 除规模外完全相同。卖空 10 单位 A、买入 1 单位 B：

交易	$t=0$	$t=1$
卖空 10 单位 A	+990	−1,000
买入 1 单位 B	−990	+1,010
净现金流	0	+10

C 与 D 除支付额外完全相同。卖空 1 单位 C、买入 1 单位 D：

交易	$t=0$	$t=1$
卖空 C	+100	−102
买入 D	−100	+103
净现金流	0	+1

L1 的 套利（L1）与现金流可加性已经给出无初始净投资、未来无风险正收益的定义。R24 把该原则用于固定收益 STRIPS、利率树校准和含权债估值。

24.2 无权固定利率债券的无套利价值 Option-Free Bond Valuation — LOS 24.b

无权固定利率债券的每笔未来现金流按对应期限的现货利率折现：

$$V_0=\sum _{t=1}^T\frac{C{F}_t}{(1+S_t{)}^t}$$

三年期债券的逐笔折现

一只三年期、年付息 3%、面值 100 的债券，与欧元基准债券的流动性和风险相同。$S_1=3.00\%$、$S_2=3.25\%$、$S_3=3.50\%$。金额单位 EUR。

$$V_0=\frac{3}{1.03}+\frac{3}{1.0325^2}+\frac{103}{1.035^3}=98.63$$

无权债现金流已知，现货曲线足以估值。含权债的利率路径会影响期权是否执行，进而改变现金流，需要允许利率和现金流共同变化的模型。

L1 的 固定收益已讲现货利率逐笔折现，公式与 R24 相同。L2 的增量从含权现金流和利率树开始。

24.3 二叉利率树 Binomial Interest Rate Tree — LOS 24.c

二叉利率树假定每个节点的下一期利率有两个等概率结果，上行与下行概率均为 50%。树中每个利率是该节点对应期间的一期远期利率。

graph LR
  A["t=0: i0"] --> B["t=1: i1,U"]
  A --> C["t=1: i1,L"]
  B --> D["t=2: i2,UU"]
  B --> E["t=2: i2,UL"]
  C --> E
  C --> F["t=2: i2,LL"]

该树会重组（recombine）：先上后下与先下后上到达同一节点，$i_{2,UL}=i_{2,LU}$。

同一节点期相邻利率相差两个标准差：

$$i_{1,U}=i_{1,L}{e}^{2\sigma }$$ $$i_{2,LU}=i_{2,LL}{e}^{2\sigma },i_{2,UU}=i_{2,LL}{e}^{4\sigma }$$

$\sigma$ 是模型采用的利率波动率，可来自历史数据或利率衍生品隐含波动率。

该框架是对数正态随机游走模型，具有两个性质：

1. 利率水平越高，绝对波动越大；
2. 利率不会为负。

L1 的 二叉树模型用于单期衍生品复制；R24 的利率树由一期远期利率构成，需对整条基准期限结构校准，并通过多期 backward induction 给债券估值。

24.4 向后归纳 Backward Induction — LOS 24.e

向后归纳从最终现金流开始，逐层向左折现到根节点。节点利率是该节点的一期远期利率；上、下两个后继状态等概率，因此节点价值为下一期两个可能价值的平均数，再加上相应现金流并折现。

若下一期两个节点价值为 $V_U$ 和 $V_L$，本期末还收到票息 $C$，当前节点利率为 $i$：

$$V=\frac{0.5(V_U+C)+0.5(V_L+C)}{1+i}$$

两年期 7% 无权债券

年付息、面值 100。根节点利率为 4.5749%；一年后上节点利率 7.1826%，下节点利率 5.3210%。金额单位 USD。

到期各节点支付 $100+7$。一年后：

$$V_{1,U}=\frac{0.5(107)+0.5(107)}{1.071826}=99.830$$ $$V_{1,L}=\frac{0.5(107)+0.5(107)}{1.053210}=101.594$$

根节点：

$$V_0=\frac{0.5(99.830+7)+0.5(101.594+7)}{1.045749}=102.999$$

节点计算使用两个现值的平均数。把两个现值相加会把概率权重扩大一倍。

24.5 利率树校准 Calibration — LOS 24.d

一棵用于定价的二叉利率树同时满足三项条件：

1. 用树给基准债券估值，结果等于市场价格；
2. 同一节点期的相邻一期远期利率相差 $e^{2\sigma }$；
3. 每期中间远期利率（偶数个节点时取中点）约等于由基准现货曲线隐含的该期一期远期利率。

补全利率树

面值曲线为 3%、4%、5%，对应 $S_1=3.000\%$、$S_2=4.020\%$、$S_3=5.069\%$；波动率 $\sigma =20\%$。已知 $i_{1,U}=5.7883\%$。

一年后的下节点：

$$i_{1,L}=i_{1,U}{e}^{-2\sigma }=0.057883e^{-0.40}=3.88\%$$

第二节点期的中间利率用两年后的一年期远期利率估计：

$$(1+S_3{)}^3=(1+S_2{)}^2[1+f(2,1)]$$ $$1.05069^3=1.0402^2[1+f(2,1)]\Rightarrow f(2,1)=7.199\%$$

因此：

$$i_{2,LL}=0.07199e^{-0.40}=4.83\%,i_{2,UU}=0.07199e^{0.40}=10.74\%$$

校准关系作用于 forward rates。把节点利率称为 spot rates 会改变模型含义。

24.6 现货曲线估值与利率树估值 Zero-Coupon Curve vs Lattice — LOS 24.f

校准正确的利率树与用于校准它的现货曲线，对同一无权债券给出相同价值。含权债需要在每个节点判断期权是否执行，利率树能够让未来利率和现金流共同变化。

两种方法给出同一价格

三年期、年付息 3%、面值 100 的国债，$S_1=3.000\%$、$S_2=4.020\%$、$S_3=5.069\%$。

现货曲线法：

$$V_0=\frac{3}{1.03}+\frac{3}{1.0402^2}+\frac{103}{1.05069^3}=94.485$$

校准后的一期远期利率树：

节点期	上	中	下
0	3.0000%	—	—
1	5.7883%	—	3.8800%
2	10.7383%	7.1981%	4.8250%

最右一层：

$$V_{2,UU}=\frac{103}{1.107383}=93.01,V_{2,UL}=\frac{103}{1.071981}=96.08,V_{2,LL}=\frac{103}{1.048250}=98.26$$

中间层：

$$V_{1,U}=\frac{0.5(93.01+3)+0.5(96.08+3)}{1.057883}=92.21$$ $$V_{1,L}=\frac{0.5(96.08+3)+0.5(98.26+3)}{1.038800}=96.43$$

根节点：

$$V_0=\frac{0.5(92.21+3)+0.5(96.43+3)}{1.03}=94.485$$

24.7 路径估值 Pathwise Valuation — LOS 24.g

$n$ 期二叉树共有 $2^{n-1}$ 条独立路径。路径估值沿每条路径逐期用一期远期利率折现所有现金流，再对路径价值取等权平均。它与 backward induction 在数学上等价。

沿用三年期 3% 债券：

路径	第一年	第二年	第三年	路径价值
SUU	3.0000%	5.7883%	10.7383%	91.03
SUL	3.0000%	5.7883%	7.1981%	93.85
SLU	3.0000%	3.8800%	7.1981%	95.52
SLL	3.0000%	3.8800%	4.8250%	97.55
平均	—	—	—	94.49

第一条路径：

$$V_{SUU}=\frac{3}{1.03}+\frac{3}{(1.03)(1.057883)}+\frac{103}{(1.03)(1.057883)(1.107383)}=91.03$$

重组树中的有效路径必须从相邻节点移动。对三年树，SUU、SUL、SLU、SLL 是四条有效路径；额外加入“上节点直接跳到下节点”的路径，会错误改变平均值。

24.8 Monte Carlo 远期利率模拟 — LOS 24.h

住宅抵押贷款支持证券（MBS）的提前偿还取决于利率到达当前水平前走过的路径。例如，利率从 6% 降到 4%、升回 6%、再降到 4% 时，许多借款人已在第一次到达 4% 时再融资；第二次到达 4% 的提前偿还率会较低。

Backward induction 假定节点现金流只取决于当前节点，不取决于到达节点的路径，因此不适用于具有路径依赖现金流的 MBS。Monte Carlo 方法可保留每条模拟路径的历史。

流程包括：

1. 给定波动率和概率分布，随机生成大量利率路径；
2. 沿每条路径计算证券价值；
3. 对路径价值取平均；
4. 校准路径，使基准证券模型价值等于市场价格。

模拟价值高于市场价时，对所有路径利率加一个常数；模拟价值低于市场价时减去常数。这产生 drift-adjusted model。模型也可依据均值回复设置利率上下界。

三年期 3% 债券的一组 drift-adjusted 模拟产生八条路径价值：91.53、91.91、92.53、93.36、94.47、96.15、97.57、98.42，平均为 94.49。第二条路径的利率为 3%、5.11%、10.33%：

$$V_2=\frac{3}{1.03}+\frac{3}{(1.03)(1.0511)}+\frac{103}{(1.03)(1.0511)(1.1033)}=91.91$$

增加路径数会提高估计的统计精度；结果能否更接近证券的经济价值，还取决于利率模型、波动率、分布和现金流假设。L1 的数量方法介绍通用 Monte Carlo simulation；R24 增加利率路径校准和 MBS 路径依赖用途。

24.9 期限结构模型 Term Structure Models — LOS 24.i

期限结构模型用定量方式描述利率如何变化。两大类模型的出发点不同：

类别	出发点	优势	代表模型
均衡模型 Equilibrium models	用驱动利率的经济变量解释期限结构	给出经济解释	CIR、Vasicek
无套利模型 Arbitrage-free models	接受当前市场价格和收益率曲线，再校准模型	可精确匹配当前市场期限结构	Ho-Lee、KWF

Cox-Ingersoll-Ross 模型

$$d{r}_t=a(b-r)dt+\sigma \sqrt{r}dz$$

$a$ 控制均值回复速度，$b$ 是长期短期利率，$\sigma \sqrt{r}dz$ 是随机项。利率向 $b$ 回复；利率越高，波动越大；模型只产生非负利率。

Vasicek 模型

$$d{r}_t=a(b-r)dt+\sigma dz$$

Vasicek 同样均值回复，波动率与当前利率水平无关且保持常数。模型可能产生负利率。

Ho-Lee 模型

$$d{r}_t={\theta }_{t}dt+\sigma d{z}_t$$

${\theta }_t$ 是随时间变化的漂移项。模型用市场价格校准 ${\theta }_t$ 以生成当前期限结构，假定常数波动率和正态分布，因此可能产生负利率。

Kalotay-Williams-Fabozzi 模型

$$d\ln (r_t)={\theta }_{t}dt+\sigma dz$$

KWF 与 Ho-Lee 的右侧形式相同，短期利率服从对数正态分布；模型不假定均值回复，波动率保持常数。

Gauss+ 模型

Gauss+ 是多因子模型，纳入短、中、长期利率。长期利率受宏观变量影响并均值回复，中期利率向长期利率回复，短期利率由中央银行控制且没有随机项。由此产生驼峰形波动率曲线，中期利率波动率最高。

24.10 item set 实操

graph TD
  A["识别现金流是否确定"] -->|"确定"| B["现货曲线或已校准利率树"]
  A -->|"含权、现金流随节点改变"| C["二叉利率树"]
  A -->|"现金流依赖完整路径"| D["Monte Carlo"]
  B --> E["逐笔折现或 backward induction"]
  C --> F["从最右层逐节点执行期权规则并折现"]
  D --> G["逐路径估值后取平均"]
  E --> H["检查模型价值是否匹配基准市场价"]
  F --> H
  G --> H

题干线索	该答	最易混的	判别依据
整体与 STRIPS 价格不同	Value additivity 套利	Dominance	现金流是整体与分拆组合的关系
同价资产未来支付一高一低	Dominance	Value additivity	支付更高的资产支配另一项
每个节点上、下两个结果	两个下一期现值的平均数	两者相加	上、下概率各 50%
相邻节点相差 $e^{2\sigma }$	一期 forward rates	Spot rates	节点利率是节点期的一期远期利率
无权债、树已正确校准	树价值等于现货曲线价值	只有平坦曲线才相等	校准已强制匹配基准价格
MBS 提前偿还依赖过去路径	Monte Carlo	Recombining backward induction	同一当前利率可对应不同历史与现金流
模型匹配当前曲线最精确	Ho-Lee 等无套利模型	CIR / Vasicek	无套利模型从市场曲线出发校准

---

R25: 含权债券的估值与分析 Valuation and Analysis of Bonds with Embedded Options

Reading 25 | Modules 25.1–25.8 | LOS 25.a–25.q

graph LR
  A(("含权债券")) --- B["Callable / Putable"]
  A --- C["OAS 与波动率"]
  A --- D["Duration / Convexity"]
  A --- E["Capped / Floored Floater"]
  A --- F["Convertible"]
  B --- B1["Backward induction"]
  B --- B2["Call / Put rule"]
  D --- D1["One-sided duration"]
  D --- D2["Key rate duration"]
  F --- F1["Conversion value"]
  F --- F2["Straight value"]

25.1 内嵌期权的类型 Types of Embedded Options — LOS 25.a

发行人可通过债券内嵌期权管理利率风险，并以较低票面利率融资。期权可以是普通 call / put，也可以是 sinking fund 或 estate put。

证券或条款	权利属于谁	执行方式或效果
Callable bond	发行人	按 call price 提前赎回；投资者持有债券并卖出 call
Putable bond	投资者	按 put price 提前回售；投资者持有债券并买入 put
Extendible bond	投资者	延长到期日，可视为期限较长的 putable bond
Estate put	投资者的继承人	投资者去世后回售；投资者预期寿命越短，期权价值越高
Sinking fund bond	发行人通常另有 call、acceleration、delivery 等选择	定期留存资金偿还债券，降低信用风险

Call protection period 内不得赎回。保护期结束后，European-style 只在单一日期执行，American-style 可随时执行，Bermudan-style 可在若干固定日期执行。

一只两年期 3% 债券若可在两年末延长一年且票息不变，可按一只三年期、保护期两年、European-style putable bond 估值。

L1 的 期权与 固定收益已介绍 callable、putable、convertible 的权利归属和基本价值关系。R25 增加执行风格、estate put、sinking fund、extendible bond 及节点估值。

25.2 直债、含权债与期权价值 Value Decomposition — LOS 25.b

Callable bond 的投资者持有直债并卖出债券 call：

$$V_{\text{callable}}=V_{\text{straight}}-V_{\text{call}}$$ $$V_{\text{call}}=V_{\text{straight}}-V_{\text{callable}}$$

Putable bond 的投资者持有直债并买入债券 put：

$$V_{\text{putable}}=V_{\text{straight}}+V_{\text{put}}$$ $$V_{\text{put}}=V_{\text{putable}}-V_{\text{straight}}$$

在其他条件相同时：

$$V_{\text{putable}}\ge V_{\text{straight}}\ge V_{\text{callable}}$$

25.3 利率树与执行规则 Arbitrage-Free Tree Valuation — LOS 25.c、25.f

含权债采用校准后的基准二叉利率树和 backward induction。每个节点先算延续价值，再执行适用的期权规则：

$$V_{\text{callable,node}}=\min (\text{computed continuation value},\text{call price})$$ $$V_{\text{putable,node}}=\max (\text{computed continuation value},\text{put price})$$

Call rule 只在可赎回日期适用，put rule 只在可回售日期适用；具体日期取决于 European、American 或 Bermudan 风格。

两年期 7% 债券的直债、callable 与 putable 价值

年付息、面值 100；一年后可按 100 赎回或回售。根节点利率 4.5749%，一年后上节点 7.1826%、下节点 5.3210%。金额单位 USD。

直债在一年后的价值：

$$V_{1,U}=\frac{107}{1.071826}=99.830,V_{1,L}=\frac{107}{1.053210}=101.594$$ $$V_{\text{straight},0}=\frac{0.5(99.830+7)+0.5(101.594+7)}{1.045749}=102.999$$

Callable bond：下节点延续价值 101.594 高于 call price 100，使用 100；上节点仍用 99.830。

$$V_{\text{callable},0}=\frac{0.5(99.830+7)+0.5(100+7)}{1.045749}=102.238$$

Putable bond：上节点延续价值 99.830 低于 put price 100，使用 100；下节点仍用 101.594。

$$V_{\text{putable},0}=\frac{0.5(100+7)+0.5(101.594+7)}{1.045749}=103.081$$ $$V_{\text{call}}=102.999-102.238=0.76$$ $$V_{\text{put}}=103.081-102.999=0.082$$

节点顺序固定为：算延续价值 → 套用执行规则 → 加本期票息 → 用当前节点利率向前一层折现。Call rule 使用较低值，put rule 使用较高值。

25.4 波动率、利率水平与曲线形状 Volatility and Yield Curve — LOS 25.d–25.e

利率波动率

债券 call 和 put 的价值都随利率波动率上升而上升。直债价值受利率水平影响，不受模型波动率假设影响。因此：

波动率上升时	变化方向
Call option value	上升
Put option value	上升
Straight bond value	不变
Callable bond value	下降
Putable bond value	上升

利率水平

利率下降时，call 更可能进入价内，callable bond 的价格上升受到 call price 限制，涨幅小于直债。利率上升时，put 更可能进入价内，putable bond 的价格下跌受到 put price 保护，跌幅小于直债。

Call option value 与利率水平反向变化；put option value 与利率水平同向变化。

上斜曲线变平

上斜曲线的远期利率随期限上升，未来高利率降低 call 进入价内的概率，同时提高 put 进入价内的概率。上斜曲线变平时：

期权	价值变化	原因
Call	上升	远期高利率情景减弱，赎回概率上升
Put	下降	高利率和回售概率下降

25.5 期权调整利差 Option-Adjusted Spread — LOS 25.g

基准利率树用无信用风险利率折现。给信用风险债券估值时，在树中每个一期利率上加同一个常数，使执行完 call / put rule 后的模型价值等于市场价格。该常数是 OAS：

$$V_{\text{model}}(\text{benchmark tree}+\mathrm{OAS})=P_{\text{market}}$$

OAS 在节点期权调整之后求解，因此已剔除内嵌期权风险。信用风险相近的债券应有相近 OAS；相对同类：

• OAS 较高表示给定风险下补偿较高，债券相对低估；
• OAS 较低表示补偿较低，债券相对高估。

Callable bond 的 OAS

一只三年期、年付息 6%、面值 100 的公司债，市场价 99.95；一年和两年后均可按面值赎回。基准利率树的波动率为 20%。金额单位 USD。

节点期	上	中	下
0	3.0000%	—	—
1	5.7883%	—	3.8800%
2	10.7383%	7.1981%	4.8250%

基准树执行 call rule 后，模型价值为 101.77。各节点加 1% 后：

时点	节点	算得的延续价值	Call rule 后价值	折现率
0	根	99.95	99.95	3.00% + 1%
1	上	95.91	95.91	5.7883% + 1%
1	下	100.10	100.00	3.8800% + 1%
2	上	94.86	94.86	10.7383% + 1%
2	中	97.97	97.97	7.1981% + 1%
2	下	100.17	100.00	4.8250% + 1%

加 100 bps 后模型价值等于 99.95，因此 OAS = 100 bps。

L1 的 信用利差用 $OAS=Z\text{-spread}-\text{option value}$ 概括期权调整。R25 增加在校准利率树上逐节点执行期权规则、再迭代求常数利差的算法。

25.6 波动率假设与 OAS Volatility and OAS — LOS 25.h

市场价格给定时，OAS 的大小取决于生成利率树所用的波动率假设。

假定波动率	Call value	Put value	Callable 模型价值	Putable 模型价值	Callable OAS	Putable OAS
高	高	高	低	高	低	高
低	低	低	高	低	高	低

例：同一只市场价 958 的 10 年期 7% callable bond：

• 采用 15% 波动率，模型价值 1,050，需要 OAS 80 bps 才降到市场价；
• 采用 20% 波动率，call 价值更高，callable 模型价值降到 992，需要的 OAS 为 54 bps。

若 callable bond 所用波动率低于实际水平，模型 OAS 偏高，债券可能被误判为低估；波动率高于实际水平时，模型 OAS 偏低，可能被误判为高估。Putable bond 的误判方向相反。

25.7 Effective Duration 与 Effective Convexity — LOS 25.i–25.j

Modified duration 假定利率变动不会改变现金流，适用于无权债。含权债的现金流会随期权执行而变化，应使用 effective duration 和 effective convexity：

$$ED=\frac{B{V}_{-\Delta y}-B{V}_{+\Delta y}}{2B{V}_0\Delta y}$$ $$EC=\frac{B{V}_{-\Delta y}+B{V}_{+\Delta y}-2B{V}_0}{B{V}_0\Delta y^2}$$

其中 $\Delta y$ 是基准曲线的平行移动幅度，$B{V}_{-\Delta y}$ 和 $B{V}_{+\Delta y}$ 是曲线下移和上移后的模型价值。

计算流程：

1. 用当前市场价、基准曲线、波动率和期权条款求 OAS；
2. 基准曲线平行上移 $\Delta y$，重建利率树；
3. 把步骤 1 的 OAS 加到新树各节点，执行期权规则，得到 $B{V}_{+\Delta y}$；
4. 基准曲线平行下移 $\Delta y$，重复步骤 2–3，得到 $B{V}_{-\Delta y}$；
5. 代入 ED 和 EC。

凸性公式分母为 $B{V}_0\Delta y^2$，没有额外的 2。

两种内嵌期权都可能缩短债券存续期：

$$E{D}_{\text{callable}}\le E{D}_{\text{straight}},E{D}_{\text{putable}}\le E{D}_{\text{straight}}$$

其他期限关系：

• 零息债 effective duration 约等于到期期限；
• 固定票息债 effective duration 小于到期期限；
• 浮息债 effective duration 约等于距下一次重设利率的时间。

利率上升时，callable bond 被赎回的可能下降，effective duration 上升；putable bond 被回售的可能上升，effective duration 下降。L1 的 久期已给出 ED、EC 公式和三类债券的基本关系；R25 进一步要求固定 OAS 后重建两棵树。

25.8 单边久期与关键利率久期 One-Sided and Key Rate Durations — LOS 25.k

Effective duration 对曲线上、下等幅移动取对称平均。含权债在期权接近价内时，两个方向的价格反应不对称，单边久期更能反映利率敏感度。

债券	One-sided down-duration	One-sided up-duration	原因
接近平值的 callable	较低	较高	利率下降时 call price 限制上涨
接近平值的 putable	较高	较低	利率上升时 put price 限制下跌

Key rate duration 只移动某一基准期限的 par rate，其余期限保持不变，用于识别 shaping risk。含权债最重要的 key rate 会随票息和执行概率变化。

15 年期债券的关键利率久期

所有债券 YTM 为 3%。Callable 与 putable 均为 European-style，可在第 10 年按面值执行。

类型与票息	总久期	2 年	3 年	5 年	10 年	15 年
Option-free 1%	13.41	−0.05	−0.07	−0.22	−0.45	14.20
Option-free 3%（面值债）	11.94	0	0	0	0	11.94
Option-free 8%	10.18	0.09	0.15	0.32	0.88	8.74
Callable 1%	13.22	−0.03	−0.01	−0.45	−2.22	15.93
Callable 3%	11.45	0	0	0	6.40	5.05
Callable 8%	8.89	0.09	0.15	0.32	7.20	1.13
Putable 1%	9.22	−0.03	−0.01	−0.45	8.66	1.05
Putable 3%	10.50	0	0	0	5.12	5.38
Putable 8%	10.08	0.09	0.15	0.32	0.45	9.07

判读规则：

1. 无权面值债只有到期期限 key rate duration 非零，且等于 effective duration；
2. 无权非面值债仍以到期期限最重要；低票息债在其他期限可能出现负 key rate duration；
3. Callable 票息低时不易赎回，到期期限最重要；票息高时更易赎回，执行期限逐渐主导；
4. Putable 票息高时不易回售，到期期限最重要；票息低时更易回售，执行期限逐渐主导。

25.9 Effective Convexity — LOS 25.l

债券	利率区间	Effective convexity
Straight	所有利率水平	正
Putable	所有利率水平	正
Callable	高利率、call 远离价内	正，接近直债
Callable	低利率、call 接近平值或价内	负，价格上行受 call price 限制

Call 进入价内后，利率下降带来的价格上涨小于利率等幅上升带来的价格下跌，形成负凸性。Put 为价格提供下行保护，因此维持正凸性。

25.10 Capped 与 Floored Floater — LOS 25.m

浮息债票息在每期开始时按参考利率确定、期末支付。Cap 是发行人的期权，限制票息最高水平；floor 是投资者的期权，限制票息最低水平：

$$V_{\text{capped floater}}=V_{\text{straight floater}}-V_{\text{cap}}$$ $$V_{\text{floored floater}}=V_{\text{straight floater}}+V_{\text{floor}}$$

两年期浮息债、cap 与 floor

面值 100，票息按 MRR；根节点 4.5749%，一年后上节点 7.1826%、下节点 5.3210%。金额单位 USD。

无 cap / floor 时，票息率等于要求收益率，straight floater 价值为 100。

Cap = 6%： 第二年上路径票息由 7.18 限制为 6.00，下路径票息为 5.3210。

$$V_{1,U}=\frac{100+6}{1.071826}=98.90,V_{1,L}=\frac{100+5.3210}{1.053210}=100$$

第一年票息为根节点已确定的 4.57：

$$V_0=\frac{[(98.90+4.57)+(100+4.57)]/2}{1.045749}=99.47$$ $$V_{\text{cap}}=100-99.47=0.53$$

Floor = 5%： 第一年根节点票息 4.5749% 低于 floor，改用 5；第二年两条路径均不低于 5%。

$$V_0=\frac{[(100+5)+(100+5)]/2}{1.045749}=100.41$$ $$V_{\text{floor}}=100.41-100=0.41$$

每个节点分别比较当期参考利率与 cap / floor。Cap 取较低票息，floor 取较高票息，再执行 backward induction。

25.11 可转换债券条款 Convertible Bond Features — LOS 25.n

可转换债券持有人可在 conversion period 内，以固定 conversion price 把债券换成固定数量的发行人普通股。投资者取得股票上涨潜力，并接受较低债券收益率；发行人降低融资成本，现有股东在转换后面临稀释。

Conversion ratio 是每只债券可换得的普通股数量。面值 1,000、conversion ratio 为 10 时，conversion price 为 $1,000/10=100$。债券以非面值发行时，conversion price 等于发行价除以 conversion ratio。

公司行动会调整 conversion ratio，例如拆股、股票股利。超过阈值的高额现金股利也可上调 conversion ratio，补偿除息造成的股价下降。

其他条款包括：

• Change of control 后的一段期间内可执行 contingent put，或改用更低 conversion price；
• Hard put 以现金赎回；
• Soft put 的发行人可选择现金、股票、次级债或其组合偿付。

25.12 可转换债券价值组成 Convertible Value Components — LOS 25.o

$$\text{conversion value}=\text{stock price}\times \text{conversion ratio}$$

Straight value（investment value）是假设不可转换时，以可比无权债要求收益率折现所得的债券价值。

$$\text{minimum convertible value}=\max (\text{straight value},\text{conversion value})$$

若可转债价格低于 conversion value，可买入后立即转换并卖出股票套利；若低于 straight value，也会受到债券现金流价值的支撑。

BSC 可转换债券

7% 可转债市场价 985，conversion ratio = 25，straight value = 950；股票价格 35，每股年股利 1。金额单位 USD。

Conversion value：

$$25\times 35=875$$

最低价值为 $\max (950,875)=950$。

Market conversion price（conversion parity price）：

$$\frac{985}{25}=39.40$$

Market conversion premium per share：

$$39.40-35=4.40$$

Market conversion premium ratio：

$$\frac{4.40}{35}=12.57\%$$

Premium over straight value：

$$\frac{985}{950}-1=3.68\%$$

Premium over straight value 越高，可转债在其他条件相同时越缺乏吸引力。Straight value 会随利率和信用利差变化，因此该溢价的价格地板会移动。

25.13 可转换债券的无套利分解 Convertible Arbitrage-Free Value — LOS 25.p

投资于不可赎回、不可回售的可转债，等价于持有直债并买入 conversion ratio 对应股票数量的 call：

$$V_{\text{convertible, noncallable}}=V_{\text{straight bond}}+V_{\text{call on stock}}$$

Callable convertible 加入投资者卖出的债券 call：

$$V_{\text{callable convertible}}=V_{\text{straight bond}}+V_{\text{call on stock}}-V_{\text{call on bond}}$$

同时 callable 与 putable 时：

$$\begin{array}{rl}{V}_{\text{callable and putable convertible}}& =V_{\text{straight bond}}+V_{\text{call on stock}}\\ & -V_{\text{call on bond}}+V_{\text{put on bond}}\end{array}$$

利率波动率下降会降低投资者所卖出债券 call 的价值，从而提高 callable convertible 价值。股票波动率下降会降低投资者所持股票 call 的价值，从而降低 convertible 价值。

25.14 可转换债券的风险收益 Convertible Risk and Return — LOS 25.q

可转债相对股票提供 straight value 的下行支撑，代价是 conversion premium 限制上行收益。投资者仍承担信用风险、call risk、利率风险和流动性风险。

沿用 BSC 例题：

股票上涨至 45

$$R_{\text{convertible}}=\frac{45}{39.40}-1=14.2\%$$ $$R_{\text{stock}}=\frac{45}{35}-1=28.6\%$$

可转债的有效股票买入价为 market conversion price 39.40，因此涨幅低于直接买入 35 的股票。

股票下跌至 30

Conversion value 为 $25\times 30=750$，低于假定不变的 straight value 950，因此可转债价值取 950：

$$R_{\text{convertible}}=\frac{950}{985}-1=-3.55\%$$ $$R_{\text{stock}}=\frac{30}{35}-1=-14.29\%$$

Straight value 是移动的价格支撑，实际还会随利率和信用风险改变。

股票状态	可转债表现
股票大幅下跌	可转债趋近 straight value；股票趋近零时，可转债趋近预期回收价值
股票大幅上涨	转换价值主导，但 conversion premium 使其通常跑输股票
股票价格稳定	若利率和信用风险不变，票息可能使可转债回报高于股票股利回报

股票价格远低于 conversion price 时，可转债像直债交易，称 fixed-income equivalent 或 busted convertible。股票价格足够高时，可转债像权益交易，称 common stock equivalent。介于两者之间时表现为混合证券。

L1 已介绍 conversion ratio 与 conversion value；R25 增加 market conversion price、两类 conversion premium、完整期权分解和不同股票价格区间的风险收益。

25.15 item set 实操

graph TD
  A["确认债券条款和执行日期"] --> B["在最右层写本金与票息"]
  B --> C["按节点利率算 continuation value"]
  C --> D{"节点是否允许执行期权？"}
  D -->|"Call"| E["取 continuation 与 call price 较低者"]
  D -->|"Put"| F["取 continuation 与 put price 较高者"]
  D -->|"否"| G["保留 continuation value"]
  E --> H["加当期票息并向左折现"]
  F --> H
  G --> H
  H --> I["信用风险债再迭代加入 OAS"]

题干线索	该答	最易混的	判别依据
Callable 节点延续价值高于 call price	用 call price	仍用延续价值	发行人选择较低支付
Putable 节点延续价值低于 put price	用 put price	仍用延续价值	投资者选择较高收款
Callable 的模型波动率提高、市场价不变	OAS 下降	OAS 上升	Call 增值使 callable 模型价值先下降
Putable 的模型波动率提高、市场价不变	OAS 上升	OAS 下降	Put 增值使 putable 模型价值先上升
低票息 callable	到期 key rate 主导	执行日 key rate 主导	Call 不易执行
高票息 callable	执行日 key rate 主导	到期 key rate 主导	Call 更易执行
低票息 putable	执行日 key rate 主导	到期 key rate 主导	Put 更易执行
高票息 putable	到期 key rate 主导	执行日 key rate 主导	Put 不易执行
Floater 票息超过 cap	使用 cap	使用参考利率	Cap 是票息上限
股价远低于 conversion price	Busted convertible，债券因素主导	Common stock equivalent	Conversion option 深度价外

---

R26: 信用分析模型 Credit Analysis Models

Reading 26 | Modules 26.1–26.7 | LOS 26.a–26.h

graph LR
  A(("信用分析模型")) --- B["Expected exposure / LGD / PD"]
  A --- C["CVA 与风险中性违约概率"]
  A --- D["评级迁移"]
  A --- E["Structural / Reduced-form"]
  A --- F["信用利差期限结构"]
  A --- G["证券化债务信用分析"]

26.1 信用风险度量 Credit Risk Measures — LOS 26.a

信用风险包括违约风险，也包括未违约但信用质量恶化的风险。

量	定义	关系
Expected exposure	某一时点、尚未考虑回收时，信用风险债投资者面临损失的金额	等于剩余现金流按无风险利率计算的现值
Recovery rate（RR）	违约时可收回的比例	$1-\text{loss severity}$
Loss given default（LGD）	违约发生时的损失金额	$\text{exposure}\times (1-RR)$
Hazard rate	已知此前未违约时，下一期违约的条件概率	可随时间变化
Probability of survival（PS）	存续至某期末的概率	常数 hazard 下为 $(1-h{)}^t$
Probability of default（PD）	某一期间内首次违约的无条件概率	$P{D}_t=h_t\times P{S}_{t-1}$
Expected loss	某期预期违约损失	$LG{D}_t\times P{D}_t$

Hazard rate 为常数 $h$ 时：

$$P{S}_t=(1-h{)}^t$$ $$P{D}_t=h\times P{S}_{t-1}$$

第一年 $P{S}_0=1$，所以 $P{D}_1=h$；以后各年 $P{D}_t<h$，因为违约必须建立在此前存续的条件上。

Credit valuation adjustment

CVA 是各期预期损失现值之和，也是无风险债券与其他条件相同的信用风险债券之间的价格差：

$$\mathrm{CVA}=\sum _{t=1}^{T}D{F}_t\times LG{D}_t\times P{D}_t$$ $$\mathrm{CVA}=V_{\text{risk-free}}-V_{\text{risky}}$$

三年期零息公司债的 CVA

面值 100，hazard rate 每年 2%，回收率 60%，基准曲线平坦于 3%。金额单位 USD。

年末	Exposure	LGD	PS	PD	Expected loss	DF	PV of expected loss
1	94.260	37.704	98.000%	2.0000%	0.754077	0.970874	0.732113
2	97.087	38.835	96.040%	1.9600%	0.761165	0.942596	0.717471
3	100.000	40.000	94.119%	1.9208%	0.768320	0.915142	0.703122
合计	—	—	—	—	—	CVA	2.152706

Exposure 从到期现金流向前折现：

$$E{E}_3=100,E{E}_2=\frac{100}{1.03}=97.087,E{E}_1=\frac{100}{1.03^2}=94.260$$

无风险零息债价值：

$$V_{\text{risk-free}}=\frac{100}{1.03^3}=91.51$$ $$V_{\text{risky}}=91.51-2.15=89.36$$

信用风险债的 YTM：$N=3$、$PV=-89.36$、$FV=100$，得 3.82%。

$$\text{credit spread}=3.82\%-3.00\%=0.82\%$$

同样参数下，若债券每年支付 4% 票息：

年末	Exposure	LGD	PS	PD	Expected loss	DF	PV of expected loss
1	105.913	42.365	98.000%	2.000%	0.847308	0.970874	0.822629
2	104.971	41.988	96.040%	1.960%	0.822972	0.942596	0.775730
3	104.000	41.600	94.119%	1.921%	0.799053	0.915142	0.731247
合计	—	—	—	—	—	CVA	2.329605

Exposure 包含该时点票息及其后剩余现金流的无风险现值：

$$E{E}_3=104$$ $$E{E}_2=\frac{104}{1.03}+4=104.971$$ $$E{E}_1=\frac{104}{1.03^2}+\frac{4}{1.03}+4=105.913$$

L1 的 信用利差已给出 $\text{expected loss}=PD\times LGD$。R26 增加逐年 exposure、hazard 与无条件 PD 的区别，以及 CVA 的完整现值链条。

26.2 风险中性违约概率 Risk-Neutral Probability of Default — LOS 26.a

实际估值采用市场价格隐含的风险中性违约概率。给定市场价、基准利率与回收率，可反解风险中性 PD。

一只一年期零息债面值 100、市场价 95、基准利率 3%、假定回收率 60%。若违约概率为 $p$，年末期望现金流为：

$$60p+100(1-p)=100-40p$$

令其无风险折现值等于市场价：

$$95=\frac{100-40p}{1.03}\Rightarrow p=5.38\%$$

市场价固定时，假定回收率越高，需要更高的风险中性 PD 才能抵消更高回收。因此风险中性 PD 与假定回收率正相关。模型中市场价、票息、期限和基准曲线为已知量；PD 与 recovery rate 中必须先假定一个，才能反解另一个。

投资分析师的实际 hazard rate 估计低于市场隐含风险中性 PD 时，市场计入的信用风险高于分析师估计，债券可能低估。

环境、社会和治理因素也会改变违约风险。污染罚款、业务限制、劳动关系造成的声誉与客户流失、治理薄弱引发的财务造假都会影响偿债能力。绿色债券也可能取得税收激励。

26.3 违约时收益与相对信用风险 Default IRR and Relative Risk — LOS 26.a

沿用三年期零息债例题，初始价格 89.36、回收率 60%。不同违约时点的回收现金流和 IRR：

结果	第 1 年现金流 / IRR	第 2 年现金流 / IRR	第 3 年现金流 / IRR
违约	56.56 / −36.71%	58.25 / −19.26%	60.00 / −12.43%
未违约	—	—	100.00 / 3.82%

例如第一年违约时，回收为 $0.60\times 94.26=56.56$；以 $PV=-89.36$、$N=1$、$FV=56.56$ 求得 IRR = −36.71%。

比较债券信用风险时，应同时考虑 PD 和 LGD，使用 expected loss：

债券	Exposure	Recovery amount	PD	LGD	Expected loss
X	102	40	1.25%	62	0.775
Y	88	45	1.30%	43	0.559
Z	92	32	1.65%	60	0.990

Z 的信用风险最高，Y 最低。缺少市场价格时，无法根据预期损失单独推荐交易；相对估值还需要比较风险与市场补偿。

26.4 信用评分、信用评级与评级迁移 Credit Scores and Ratings — LOS 26.b–26.c

Credit scoring 用于个人和小企业。FICO 分数通常随以下特征改善而提高：信用历史更长、无逾期、额度使用率更低、信用查询更少、信用类型更多样。

Credit ratings 用于公司债、资产支持证券、政府和准政府债务。信用评分和评级都是顺序尺度（ordinal）：等级高表示信用质量好，但等级差距不代表风险差距成比例。

发行人评级通常对应 senior unsecured debt。同一发行人的其他债务按清偿顺序进行 notching：次级债的 LGD 更高，评级可下调一个或多个等级。评级因此同时纳入违约概率和 LGD。评级机构还提供 positive、negative 或 stable outlook；评级越高的债券相对基准利差通常越低。

评级迁移的价格影响

评级变化通常带来信用利差变化，小幅价格变化可用 modified duration 估算：

$$\Delta \%P=-(\text{modified duration})(\Delta \text{ spread})$$

AAA 下调至 AA

债券 modified duration 为 6.32，典型 AAA spread 为 60 bps，AA spread 为 87 bps。

$$\Delta \text{ spread}=87-60=27\text{ bps}=0.0027$$ $$\Delta \%P=-6.32(0.0027)=-0.0171=-1.71\%$$

L1 已讲 PD、LGD、评级与 notching。R26 增加信用评分的具体驱动因素，以及用评级类别利差和 modified duration 估算 migration 的价格影响。

26.5 结构模型与简约模型 Structural and Reduced-Form Models — LOS 26.d

Structural model

假设公司资产由权益和一笔到期支付 $K$ 的零息债务融资。有限责任使股东持有公司资产上的 European call，执行价等于债务面值。

到期时：

$$E_T=\max (0,A_T-K)$$ $$D_T=A_T-E_T=\min (A_T,K)$$

$A_T<K$ 时公司违约。也可把股东看成持有净资产 $A_T-K$，同时持有执行价 $K$ 的 put：

$$V_{\text{put}}=\max (0,K-A_T)$$

信用风险债投资者等价于持有无风险债并卖出公司资产 put：

$$V_{\text{risky debt}}=V_{\text{risk-free debt}}-V_{\text{put}}$$

与 CVA 关系比较可得：

$$V_{\text{put}}=\mathrm{CVA}$$

结构模型给出违约的经济原因，并可用期权定价模型估值信用风险债。限制包括：简化资产负债表难以处理复杂资本结构；表外债务会使 default barrier $K$ 失真；模型还假定公司资产可交易。

Reduced-form model

简约模型不依赖资产负债表结构，也不要求公司资产可交易。违约作为随机发生的外生事件，模型用统计方法描述违约何时发生，不解释违约原因。

核心输入 default intensity 是下一个很短期间的违约概率，可用回归模型估计。解释变量包括公司杠杆、beta、利息保障倍数和宏观经济变量。Default intensity 可随公司基本面与经济状态变化。

维度	Structural model	Reduced-form model
违约概率	内生，由 $A_T<K$ 决定	外生随机事件
是否解释违约原因	是	否
是否依赖资产负债表	是	否
是否假定公司资产可交易	是	否
主要技术	期权定价	回归与统计强度模型
主要弱点	复杂资本结构、表外债务和不可交易资产	把通常有预警的违约视为意外事件

26.6 债券价值、VND 与信用利差 Bond Value and Credit Spread — LOS 26.e

信用风险债券利差为其 YTM 超过基准 YTM 的部分：

$$\text{credit spread}=YT{M}_{\text{risky}}-YT{M}_{\text{benchmark}}$$

Value given no default（VND）是假设债券不违约时，按无风险基准利率计算的价值。信用风险债价值为：

$$V_{\text{risky}}=VND-\mathrm{CVA}$$

从市场利差反推 CVA

一只面值 100、年付息 3.50%、五年期公司债，信用利差 135 bps，基准面值利率 2%。金额单位 USD。

以 2% 折现债券现金流：

$$N=5,PMT=3.50,I/Y=2,FV=100\Rightarrow VND=107.07$$

信用风险债 YTM 为 $2\%+1.35\%=3.35\%$：

$$N=5,PMT=3.50,I/Y=3.35,FV=100\Rightarrow V_{\text{risky}}=100.68$$ $$\mathrm{CVA}=107.07-100.68=6.39$$

基准利率有波动时，可用基准二叉利率树和 backward induction 求 VND。

利率树下的 VND 与 expected exposure

一只三年期、年付息 4%、面值 100 的公司债。基准一期远期利率树为：第 0 年 3%；第 1 年 5.7883% / 3.8800%；第 2 年 10.7383% / 7.1981% / 4.8250%。金额单位 USD。

年	节点	债券价值	基准利率或到期现金流
0	根	97.24	3.0000%
1	上	94.02	5.7883%
1	下	98.30	3.8800%
2	上	93.92	10.7383%
2	中	97.02	7.1981%
2	下	99.21	4.8250%
3	各终点	—	104.00

例如：

$$V_{2,L}=\frac{104}{1.04825}=99.21$$ $$V_{1,L}=\frac{[(99.21+97.02)/2]+4}{1.0388}=98.30$$

继续向左得到 $VND=97.24$。

某年 expected exposure 为该年节点价值的概率加权平均，再加当年票息：

$$E{E}_1=0.5(98.30)+0.5(94.02)+4=100.16$$ $$E{E}_2=0.25(93.92)+0.5(97.02)+0.25(99.21)+4=100.79$$ $$E{E}_3=104$$

随后把每年 exposure、无条件 PD、回收率和贴现因子代入 CVA 公式。

26.7 信用利差变化 Credit Spread Changes — LOS 26.f

基准收益率包括实际无风险利率、预期通胀及未来通胀不确定性溢价。信用利差相对基准补偿违约、流动性和税收风险。全部估值调整合称 XVA；CVA 只处理违约风险。

投资者对未来 PD 和 recovery rate 的预期变化，会改变信用利差。预期经济衰退时，违约率往往上升、回收率下降，CVA 增加、债券价格下降、信用利差扩大。

一只三年期、年付息 3% 的公司债，基准曲线平坦于 1.75%。初始 hazard rate 1.25%、recovery rate 70% 时，CVA = 1.12；若预期经济放缓，把 hazard rate 改为 1.50%、recovery rate 改为 60%，CVA 升至 1.79。

基准下 VND 为 103.62：

• 初始模型价值 $=103.62-1.12=102.50$；市场价 102 时，债券低估；
• 市场价 102 隐含 YTM 2.30%，credit spread $=2.30\%-1.75\%=0.55\%$；
• 新预期下价值 $=103.62-1.79=101.83$，YTM 2.36%，credit spread = 0.61%。

26.8 信用利差期限结构 Term Structure of Credit Spreads — LOS 26.g

信用利差期限结构描绘信用利差与到期期限的关系，可用于新券定价和存量债相对估值。信用利差与 PD 正相关，与 recovery rate 负相关。

构造同一条信用利差曲线时，样本债券应具有相近信用特征。清偿顺序、第一或第二留置权、内嵌期权的差异都会扭曲利差。缺少期限完全匹配且流动的基准债时，可在线性插值后计算利差；政府债数据不可靠时，也可用同期限 swap fixed rate 作基准。

驱动因素	对曲线的影响
未来 PD 上升或 recovery rate 下降	曲线趋向上斜
PD 和 recovery 预期稳定	曲线趋向平坦
信用质量	AAA 曲线通常平坦或略上斜；低评级曲线更陡、对周期更敏感
金融条件	扩张期信用利差缩小；周期下行时扩大
供求与流动性	流动性较差期限利差更高；新券流动性较强可使长端表观利差下降，甚至形成倒挂
权益波动率	结构模型中权益波动上升意味着公司资产不确定性上升，信用利差扩大

经济繁荣时，基准收益率可能更高而信用利差更窄。曲线形状取决于信用风险、流动性与供求，不能只凭基准曲线方向判断。

L1 已介绍信用利差曲线和 $PD\times LGD$ 近似。R26 增加用 CVA、VND 和期限匹配 YTM 逐点构造曲线，以及流动性与新券供给造成的表观倒挂。

26.9 证券化债务的信用分析 Credit Analysis of Securitized Debt — LOS 26.h

公司债和主权债通常是对发行人整体资产负债表的普通债权。证券化债务融资特定资产，如汽车贷款、信用卡应收款和抵押贷款，并通常通过 bankruptcy-remote SPE 隔离资产。发行人因此能以更高杠杆和较低成本融资；投资者得到更分散、较稳定的现金流和相对同评级普通债更高的风险溢价，但承担更高结构复杂度。

信用分析分三部分：

Collateral pool

Homogeneity 指资产池中贷款相似程度；granularity 指资产是否由大量、界定清楚的贷款构成并可用汇总统计分析。

资产池	分析方法	判别依据
短期、granular、homogeneous	Statistical-based	大量相似短期资产可用统计分布
中期、granular、homogeneous	Portfolio-based	组合构成随时间变化
Discrete、non-granular	Loan-level	贷款数量少，需要逐笔分析

Servicer quality

需评估服务机构发起和管理资产池的能力。资产发起后，投资者承担 servicer 的 operational risk 和 counterparty risk；过往记录可作为服务质量指标。

Structure and credit enhancement

内部信用增级包括：

• 按 seniority 分层并设置 distribution waterfall；
• Overcollateralization；
• Excess servicing spread，先吸收信用损失。

外部信用增级包括银行、保险公司或贷款发起人的第三方担保。

Covered bond 由金融机构发行，以 cover pool 担保，同时保留对发行人的追索权。Cover pool 是动态的：资产提前偿还或不良时，发起人必须补充资产，维持足够现金流。

发行人漏付时：

• Soft bullet：到期日最多延长一年，全部款项不会立即到期；
• Hard bullet：付款加速到期。

L1 已比较 ABS 与 covered bond 的 bankruptcy remoteness、双重追索和动态资产池。R26 增加 collateral pool / servicer / structure 三层信用分析框架及按 granularity、homogeneity、期限选择分析方法。

26.10 item set 实操

graph TD
  A["先写每年剩余现金流"] --> B["按基准利率求 exposure / VND"]
  B --> C["由 hazard 算 PS 与逐年 PD"]
  C --> D["LGD = exposure × loss severity"]
  D --> E["Expected loss = LGD × PD"]
  E --> F["逐期折现并求和得到 CVA"]
  F --> G["Risky value = VND − CVA"]
  G --> H["由市场价求 risky YTM 与 credit spread"]

题干线索	该答	最易混的	判别依据
第一年、常数 hazard 1.25%	$P{D}_1=1.25\%$	$P{D}_1<1.25\%$	起始 survival probability 为 1
三年存续概率	$(1-h{)}^3$	$1-3h$	每年必须在此前存续条件下继续存续
问某年 expected loss	$LG{D}_t\times P{D}_t$	Exposure × hazard	PD 是该年无条件首次违约概率
市场价给定、假定 recovery 上升	风险中性 PD 上升	风险中性 PD 下降	更高回收需更高 PD 抵消
股东有限责任、债务结构简单	Structural model	Reduced-form model	股权是公司资产 call
Default intensity 用回归估计	Reduced-form model	Structural model	违约是外生随机事件
评级下调、spread 扩大	价格约变动 $-D_{mod}\Delta spread$	正号	收益率上升使债券价格下降
短期、大量同质证券化贷款	Statistical-based	Portfolio-based	期限短且 granular / homogeneous
Covered bond	Cover pool 加发行人追索	只追索 SPE 资产	具有 dual recourse

---

R27: 信用违约互换 Credit Default Swaps

Reading 27 | Modules 27.1–27.3 | LOS 27.a–27.e

graph LR
  A(("Credit Default Swap")) --- B["Protection buyer"]
  A --- C["Protection seller"]
  A --- D["Credit event"]
  A --- E["Pricing and valuation"]
  A --- F["Trading strategies"]
  B --- B1["Short credit risk"]
  C --- C1["Long credit risk"]
  D --- D1["Cash / Physical settlement"]
  E --- E1["Premium leg"]
  E --- E2["Protection leg"]
  F --- F1["Curve / Basis / Arbitrage"]

27.1 CDS 的方向与现金流 CDS Positions and Cash Flows — LOS 27.a

信用违约互换（CDS）在信用事件发生时，由 protection seller 补偿 protection buyer。买方为保护定期支付 CDS coupon / premium，合约保护的面值称 notional principal。

一方	信用风险方向	定期现金流	信用事件后的现金流	信用利差扩大时的价值变化
Protection buyer	Short credit risk	支付 premium	收取赔付	上升
Protection seller	Long credit risk	收取 premium	支付赔付	下降

CDS 只处理参考实体的信用风险，不保护市场整体利率风险。保护买方的收益形态近似 put：参考债务表现恶化时，保护价值上升。

市场标准化后，investment-grade CDS 通常采用 1% coupon，high-yield CDS 通常采用 5% coupon。标准 coupon 与实际 CDS spread 不同时，双方用 upfront payment 调整。

例如 investment-grade 参考债务的市场信用利差为 75 bps，标准 CDS coupon 为 100 bps。保护买方会持续支付高于市场所需的 coupon，因此 protection seller 在期初向买方支付 25 bps 差额的现值。

ISDA 通过 ISDA Master Agreement 提供标准合约条款和惯例。

L1 的 衍生品已把 CDS 归为 contingent claim，并介绍保护买卖双方与 bankruptcy / default / restructuring。R27 增加标准 coupon、upfront payment、single-name / index CDS、结算、估值和信用曲线交易。

27.2 Single-Name 与 Index CDS — LOS 27.a

Single-name CDS

Reference entity 是参考债务的发行人；reference obligation 是合约点名的固定收益证券，senior CDS 通常以 senior unsecured obligation 为参考债务。

参考实体在 reference obligation、同等清偿顺序（pari passu）或更高顺序的其他债务上违约，均可触发 CDS。赔付基于与参考债务同等 seniority 的 cheapest-to-deliver（CTD）债券。

Single-name CDS 的 CTD 赔付

Protection buyer 持有 Alpha 的 senior CDS，notional 为 10,000,000。信用事件后：次级无担保债 P 按面值 15% 交易；senior unsecured Q 按 25%；senior unsecured R 按 30%。金额单位 USD。

P 的 seniority 不符合 senior CDS。Q 与 R 中，Q 的价格最低，是 CTD：

$$\text{payoff}=10,000,000-0.25(10,000,000)=7,500,000$$

Index CDS

Index CDS 同时覆盖多个发行人。各成分获得相同保护权重，总 notional 是所有成分保护额之和。

Index CDS 中单一成分违约

五年期 CDX-IG index CDS 的 notional 为 100,000,000，指数包含 125 个实体。公司 A 违约后，债券按面值 30% 交易。金额单位 USD。

A 对应 notional：

$$\frac{100,000,000}{125}=800,000$$ $$\text{payoff}=800,000-0.30(800,000)=560,000$$

A 结算后，其余指数 CDS 继续存在，新 notional 为 99,200,000。

Index CDS spread 还受成分违约相关性影响。成分之间的 default correlation 越高，指数 CDS spread 越高。

27.3 信用事件与结算 Credit Events and Settlement — LOS 27.b

信用事件	含义	与近邻概念的区别
Bankruptcy	申请破产保护，在法院监督下与债权人处理债务	可能避免全面清算
Failure to pay	未申请正式破产，却漏付约定票息或本金	触发点是到期付款未履行
Restructuring	发行人迫使债权人接受不同于原合同的条款	美国较少使用，发行人更常申请破产保护

ISDA Determinations Committee 有 15 名成员，至少 12 人同意才宣布发生信用事件。

信用事件后有两类结算：

结算方式	Protection buyer	Protection seller
Physical settlement	交付符合条件的参考债务	支付 notional principal
Cash settlement	不交付债券，收取现金赔付	支付 payout ratio × notional

$$\text{payout ratio}=1-\text{recovery rate}$$ $$\text{cash settlement amount}=\text{payout ratio}\times \text{notional principal}$$

Physical settlement 的经济赔付同样是面值减交付债券市场价值；可交付债券的 seniority 和 CTD 资格决定实际回收基准。

27.4 CDS Spread、Hazard Rate 与两条腿 CDS Pricing — LOS 27.c

CDS spread 随违约概率和 LGD 上升而上升，也受标准 coupon 影响。多期 CDS 中，当期首次违约概率取决于此前是否存续：

$$PO{D}_t=P{S}_{t-1}\times h_t$$

$h_t$ 是当期 hazard rate。

随时间上升的 hazard rate

一份五年期 senior CDS 的五个年度 hazard rates 为 2%、3%、4%、5%、6%。五年存续率：

$$P{S}_5=(1-0.02)(1-0.03)(1-0.04)(1-0.05)(1-0.06)=0.815=81.5\%$$

单期、忽略货币时间价值时：

$$\text{CDS spread}\approx (1-RR)\times POD$$

回收率 50%、POD 3% 时：

$$\text{CDS spread}\approx 0.50\times 0.03=1.5\%=150\text{ bps}$$

CDS 的两条腿：

• Premium leg：保护买方支付 coupon；违约后 CDS 终止，后续 premium 停止；
• Protection leg：信用事件发生时，保护卖方支付赔款。

Hazard rate 同时影响两条腿：它改变预期赔付，也改变 premium 预计能支付多久。

期初 upfront payment 使两条腿现值相等：

$$\text{upfront payment by protection buyer}=PV(\text{protection leg})-PV(\text{premium leg})$$

近似式：

$$\text{upfront premium \%}\approx (\text{CDS spread}-\text{CDS coupon})\times \text{CDS duration}$$ $$\text{CDS spread}\approx \frac{\text{upfront premium \%}}{\text{CDS duration}}+\text{CDS coupon}$$ $$\text{CDS price per 100 notional}\approx 100-\text{upfront premium \%}$$

公式使用 CDS duration，不使用 reference obligation 的债券久期。

27.5 Upfront Premium 与存量 CDS 估值 — LOS 27.c

High-yield CDS 的 upfront premium

Alpha 十年期 CDS coupon 为 5%，市场 CDS spread 为 3.5%，CDS duration 为 7。

$$\text{upfront premium \%}\approx (3.5\%-5.0\%)\times 7=-10.5\%$$

负号表示 protection seller 向 buyer 支付 notional 的约 10.5%，补偿 buyer 将持续支付高于市场利差的 coupon。

$$\text{CDS price}=100-(-10.5)=110.50\text{ per 100 notional}$$

签约后信用质量或全市场信用风险溢价变化，CDS 取得非零价值。保护买方对 spread 变化的近似收益为：

$$\text{profit for protection buyer \%}\approx \Delta \text{ spread}\times \text{CDS duration}$$ $$\text{profit for protection buyer}\approx \Delta \text{ spread}\times \text{CDS duration}\times \text{notional}$$

Spread 扩大时 protection buyer 获益；spread 缩小时 protection seller 获益。

已有保护买方可通过卖出条款相同、期限等于剩余期限的保护来抵销头寸。两份 CDS 的 upfront premium 差额约等于买方利润，这一兑现过程称 monetizing the gain。

27.6 信用曲线与 CDS 头寸 Credit Curve Trades — LOS 27.d

Credit curve 是同一发行人不同期限信用利差与期限的关系。长期债 spread 更高时曲线上斜；hazard rate 恒定时，信用曲线平坦。

预期或目的	CDS 头寸	最易混的	判别依据
预计信用利差缩小，增加信用敞口	Sell protection	Buy protection	Seller long credit risk，spread 缩小时获益
预计信用利差扩大，降低信用敞口	Buy protection	Sell protection	Buyer short credit risk，spread 扩大时获益
无现货敞口而交易信用观点	Naked CDS	Hedge	头寸没有对应债券或贷款
看多实体 A、看空实体 B	Sell A protection，buy B protection	两边都 buy	Long/short trade 比较两个实体的相对利差
预计同一实体曲线变陡	Buy long-maturity protection，sell short-maturity protection	Flattening trade	长端信用风险相对短端上升
预计同一实体曲线变平，短期更悲观	Buy short-maturity protection，sell long-maturity protection	Steepening trade	短端利差相对长端扩大

Curve trade 是同一 reference entity、不同期限之间的 long/short trade。买短端保护、卖长端保护还可用长端 premium 收入抵销一部分短端保护成本。

27.7 跨市场相对价值与套利 Relative Value and Arbitrage — LOS 27.e

Basis trade

Basis trade 利用现金债券信用利差与 CDS spread 的差异。若某债券相对 MRR 的信用利差为 4%，同一债券 CDS spread 为 3%，可买入债券并买入 CDS protection。两市场利差随后收敛时取得利润。

同一发行人的不同债务

CDS 市场反映的相对信用风险可用于识别同一发行人不同债务的高估或低估，再在债券、贷款或权益挂钩证券之间构造相对价值交易。

Leveraged buyout

LBO 或债务融资的大规模股票回购会增加负债和违约风险，使 CDS spread 扩大；股票回购也可能推高股价。预期该交易的投资者可同时买入股票和 CDS protection，两项头寸都可能升值。

Index CDS 与成分

Index CDS 价值应等于其成分保护价值之和。指数与成分 CDS 对相同信用风险定价不一致时，可在指数和成分之间套利。

Cash CDO 与 synthetic CDO

Synthetic CDO 用 CDS 组合复制 cash CDO 的信用风险。Synthetic CDO 构造成本更低时，可买入 synthetic CDO、卖出 cash CDO。

27.8 结算与交易方向归位表

场景	保护买方现金流	保护卖方现金流	方向检查
签约后无 upfront	支付 coupon	收取 coupon	Coupon 是买保护的成本
Coupon 高于 CDS spread	收到 upfront	支付 upfront	买方未来将多付 coupon
Coupon 低于 CDS spread	支付 upfront	收到 upfront	买方未来少付 coupon
信用利差扩大	存量 CDS 价值上升	存量 CDS 价值下降	买方 short credit risk
信用事件、现金结算	收取 $(1-RR)\times N$	支付同额	Recovery 越低，赔付越高
信用事件、实物结算	交付合格债务并收取面值	收债并支付面值	CTD 降低买方交付成本

27.9 item set 实操

graph TD
  A["先点名 protection buyer / seller"] --> B["确认 reference entity、seniority、notional"]
  B --> C{"题目问签约、存量估值还是信用事件？"}
  C -->|"签约"| D["Spread − coupon，再乘 CDS duration"]
  C -->|"存量估值"| E["Change in spread × CDS duration × notional"]
  C -->|"信用事件"| F["筛同 seniority 的 CTD，再算 1 − recovery"]
  D --> G["按正负号决定 upfront 付款方"]
  E --> H["Spread 扩大时 buyer 为正"]
  F --> I["比较 cash 与 physical settlement"]

题干线索	该答	最易混的	判别依据
Senior CDS，次级债价格最低	不选次级债作 CTD	直接选全市场最低价债券	CTD 必须与 reference obligation 同 seniority
Standard coupon 5%，spread 4.5%	Seller 向 buyer 支付 upfront	Buyer 向 seller 支付	Buyer 将持续多付 0.5% coupon
Hazard rate 上升	Premium leg 与 protection leg 都受影响	只影响 protection leg	违约也会终止后续 premium
预计短期 spread 扩大、长期回归	Buy short protection，sell long protection	只买短端	Curve trade 同时使用期限相对观点并抵销成本
债务融资回购	买股票并买 CDS protection	买股票并卖 protection	回购可能推高股票，增债使 credit spread 扩大
债券 spread 高于 CDS spread	买债券并买 protection	卖债券并卖 protection	锁定较高债券信用补偿，以较低 CDS 成本对冲