衍生品 Derivatives

Level II | Readings: R28-R29

R28: 远期承诺的定价与估值 Pricing and Valuation of Forward Commitments

Reading 28 | Modules 28.1–28.8 | LOS 28.b–28.g

graph LR
  ROOT(("远期承诺<br/>Forward Commitments"))
  ROOT --- P["两个问题<br/>Pricing vs Valuation"]
  P --- P1("定价：定出使 V=0 的价/率")
  P --- P2("估值：给存量头寸盯市")
  ROOT --- A["远期与期货<br/>Forwards & Futures"]
  A --- A1("carry 模型 LOS 28.b")
  A --- A2("权益远期 LOS 28.a")
  A --- A3("固收远期与国债期货 LOS 28.d")
  A --- A4("FRA LOS 28.c")
  ROOT --- B["互换<br/>Swaps"]
  B --- B1("利率互换 LOS 28.e")
  B --- B2("货币互换 LOS 28.f")
  B --- B3("权益互换 LOS 28.g")
  ROOT --- C["三条纪律<br/>Three Disciplines"]
  C --- C1("方向：价值属于谁")
  C --- C2("时间基准：360 还是 365")
  C --- C3("carry：收益减、成本加")

28.1 定价与估值

定价与估值回答两个问题：

	定价 Pricing	估值 Valuation
问的是什么	合约签订时把价格/利率定在哪，才能让双方价值都为零	合约签订之后，这个存量头寸现在值多少钱
时点	$t=0$	$0<t\le T$
答案的量纲	一个价格或利率（FP、FRA rate、SFR）	一笔钱（对某一方的正负金额）
谁的问题	双方共同的问题，无方向	必须点名是对哪一方，另一方等额反号
典型输入	现货价、无风险利率、持有收益、即期利率曲线	新的现货价 / 新的远期价 / 新的利率曲线

远期合约在签约时通常不支付对价。price 指标的的远期价格，可表现为：

• 国库券：面值折扣率
• 附息债券：到期收益率
• FRA 的隐含贷款：年化 MRR
• 货币远期：汇率

无套利定价的含义

forward price 是在无摩擦市场中使任何无风险套利组合都无利可图的价格。前提为：(1) 交易成本为零；(2) 卖空及卖空所得的使用不受限制；(3) 可按无风险利率无限量借入与贷出。

与 Level I 的衔接

L1 的 衍生品 已介绍 套利与复制（L1）、forward 的 price vs value、期货的保证金与盯市，以及 远期定价 的基本公式。

L2 新增内容：

1. 按标的分别给出定价与估值公式，包括权益离散股利、权益指数连续股利、附息债券、国债期货和利率，各类合约采用不同的时间基准；
2. 国债期货的转换因子、最廉可交割券、全价与净价；
3. 互换采用贴现因子 $Z=1/(1+\mathrm{MRR}\times \text{days}/360)$ 与 $\mathrm{SFR}=(1-Z_N)/\Sigma Z$，L1 的 par swap rate 采用另一套折现约定；
4. 货币互换与权益互换。

28.2 无套利与持有成本（carry）模型 — LOS 28.b

黄金和小麦有仓储费，股票有股利，附息债券有票息。零息债券没有这些现金流或持有成本，符合无现金流、无持有成本的情形。

$\mathrm{FP}=S_0\times (1+R_f{)}^T⟺S_0=\frac{\mathrm{FP}}{(1+R_f{)}^T}$

其中 $\mathrm{FP}$ = 远期价格，$S_0$ = 签约时的现货价，$R_f$ = 年化无风险利率，$T$ = 合约期限（年）。

无套利远期价格

一份 3 个月期、标的为面值 1,000 的零息债券的远期合约，该债券现价 500，年化无风险利率 6%。

$T=\frac{3}{12}=0.25\mathrm{FP}=500\times 1.06^{0.25}=507.34$

单位为 USD。

远期被高估时的 cash and carry arbitrage

若市场远期价是 510（高于无套利价 507.34），做法是借钱 → 买现货 → 卖远期：

今天的交易	今天的现金流	三个月后的交易	三个月后的现金流
卖出远期（short forward）	0	交券结算空头	+510.00
买入债券	−500	—	—
按 6% 借款	+500	偿还贷款	−507.34
合计	0	合计 = 套利利润	+2.66

利润 $510-507.34=2.66$，恰等于实际远期价与无套利价之差。金额单位 USD。

远期被低估时的 reverse cash and carry arbitrage

若市场远期价是 502（低于 507.34），把上面的交易全部反过来：借券 → 卖空现货 → 把所得贷出 → 买远期：

今天的交易	今天的现金流	三个月后的交易	三个月后的现金流
买入远期（long forward）	0	按约定价买入债券	−502.00
卖空债券	+500	交割该债券以平掉空头	0.00
将卖空所得按 6% 投资	−500	收回投资本息	+507.34
合计	0	合计 = 套利利润	+5.34

利润 $507.34-502=5.34$。

套利从无现金、无证券的状态开始，买入低估的一端，卖出高估的一端，现货与远期方向相反：

• 远期被高估：借钱，买入现货，在远期市场做空；
• 远期被低估：借入标的，卖空现货，把所得贷出，在远期市场做多。

两种情形下，套利利润的绝对值都等于 $|\text{实际远期价}-\text{无套利价}|$；方向由被高估的一端决定。

标的有现金流时

若标的持有者会收到票息或股利，这些现金流的现值从现货价中减去：

$\text{forward price}=\text{spot price}+\text{net cost of carry}$

$\mathrm{FP}=S_0(1+R_f{)}^T\text{(无现金流)}\mathrm{FP}=(S_0-\mathrm{PVC})(1+R_f{)}^T\text{(有现金流)}$

carry 的两个方向符号相反：

• 持有标的的收益，包括股利、票息和便利收益，会压低 FP；
• 持有标的的成本，包括仓储和保险，会抬高 FP。

net cost of carry 是两者的净额。2025 版 R28 只给出收益侧的公式与算例；成本只出现在零息债券没有仓储成本的说明中，没有含仓储成本的公式或例题。

L1 增量对照

L1 持有成本采用全形式：

$F_0(T)=\left[S_0+{\mathrm{PV}}_0(\text{costs})-{\mathrm{PV}}_0(\text{benefits})\right]\times (1+R_f{)}^T$

L2 R28 采用 $\text{costs}=0$ 的特例，并将 benefits 具体写成 PVD（股利）或 PVC（票息）：

$\mathrm{FP}=(S_0-\mathrm{PVD})\times (1+R_f{)}^T$

两式属于同一个模型。L2 公式把 costs 设为零；L1 的商品远期公式保留仓储成本。

28.3 三套时间基准

FRA 和互换按 360 天单利计息；股票与债券按 365 天周期复利；股票指数按 365 天连续复利。

合约类别	一年按几天	复利方式	折现/增值因子的写法
所有以 MRR 计息的合约：FRA、互换、caps、floors	360	单利（simple interest）	把 $r$ 乘以 $\text{days}/360$
股票、债券、股票期权	365	周期复利	$(1+r{)}^{\text{days}/365}$
股票指数	365	连续复利	$e^{r\times \text{days}/365}$

固定收益远期用 365 天，即使标的债券半年付息。国债期货例题直接给出 1.2 年、0.7 年、0.2 年时，年数直接进入指数，无须换算 days/365。

MRR 是 add-on rate（加算利率），类似短期存单的收益率报价；国库券的 discount yield 从面值折扣计算。1,000,000 借 30 天、30 天 MRR 报 6% 时，利息 $=1,000,000\times 0.06\times 30/360=5,000$，到期偿还 1,005,000 USD。

周期复利率与连续复利率的换算：

$R_f^c=\ln (1+R_f)$

例：年复利 5% 对应 $\ln (1.05)=0.04879=4.879\%$ 连续复利。两年期的终值因子两种算法一致：$1.05^2=1.1025$，$e^{0.04879\times 2}=1.1025$。

L1 增量对照

L1 年化收益与连续复利用 $R_{cc}$（个别页面写 $r_{cc}$），定义为 $\ln (1+\mathrm{HPR})$。L2 R28 用 $R_f^c$ 表示连续复利无风险利率，用 ${\delta }^c$ 表示 L1 记作 $b$ 的连续复利股利率。

28.4 权益远期与离散股利 — LOS 28.a

股票、股票组合或指数在合约期内可能派发股利。定价有两条等价路径：要么把现货价减去股利现值，要么把远期价减去股利终值。

$\mathrm{FP}(\text{of an equity security})=(S_0-\mathrm{PVD})\times (1+R_f{)}^T$

$\mathrm{FP}(\text{of an equity security})=\left[S_0\times (1+R_f{)}^T\right]-\mathrm{FVD}$

权益合约的 $T$ 按 365 天基准算：60 天合约取 $T=60/365$。

100 天股票远期的定价

股票现价 30.00，预计 15 天后派息 0.40、85 天后派息 0.40、175 天后派息 0.50；年无风险利率 5%，收益率曲线平坦。金额单位 USD。

175 天那笔股利落在合约到期之后，不计入。

$\mathrm{PVD}=\frac{0.40}{1.05^{15/365}}+\frac{0.40}{1.05^{85/365}}=0.7946$

$\mathrm{FP}=(30.00-0.7946)\times 1.05^{100/365}=29.60$

时间轴：

时点	事件 / 数值
$t=0$	签约；$S_0=30.00$；$\mathrm{FP}=29.60$；$V_0=0$
$t=15$	股利 0.40
$t=85$	股利 0.40
$t=100$	合约到期

复算：未取整的 $\mathrm{PVD}=0.79468$、$\mathrm{FP}=29.5983$，四舍五入即 29.60。

多头估值

$V_t(\text{long position})=\left[S_t-{\mathrm{PVD}}_t\right]-\left[\frac{\mathrm{FP}}{(1+R_f{)}^{(T-t)}}\right]$

调整后现货价

远期多头拿不到合约期内派发的股利，因此现货价先减去股利现值。估值式可读作 adjusted spot price less present value of forward price。

若题目直接给出当前同标的、同到期日的远期价 ${\mathrm{FP}}_t$：

$V_t(\text{long position})=\frac{{\mathrm{FP}}_t-\mathrm{FP}}{(1+R_f{)}^{(T-t)}}$

Key Concepts 的指数误植

Key Concepts 在 LOS 28.a 与 LOS 28.d 两处写成 $\left[\frac{{\mathrm{FP}}_t-\mathrm{FP}}{(1+R_f{)}^t}\right]$，正文两处写作 $(1+R_f{)}^{(T-t)}$。

指数应为 $T-t$。价差在到期日实现，从估值日到到期日还剩 $T-t$。固定收益远期的 250 天合约走过 100 天后，也按剩余的 $150/365$ 折现。

印刷材料中的 $t$ 与数学关系不符。

60 天后为这份股票远期估值

承上例，60 天后股价涨到 36.00，无风险利率仍为 5%，曲线平坦。求对多头的价值。金额单位 USD。

到期还有 40 天；剩余股利只有一笔，在 25 天后（即原时间轴的 $t=85$）。

${\mathrm{PVD}}_{60}=\frac{0.40}{1.05^{25/365}}=0.3987$

$V_{60}(\text{long})=36.00-0.3987-\frac{29.60}{1.05^{40/365}}=6.16$

对空头的价值 = −6.16。 复算：精确值 6.1592（用未取整的 $\mathrm{FP}=29.5983$ 则为 6.1608）。

PVD 的股利范围

场景	计入的股利
定价（$t=0$）	支付日 $\le T$ 的全部股利
估值（时点 $t$）	支付日落在 $(t,T]$ 之间的股利；已付和到期后的股利不计入

两道测验都将 ${\mathrm{PVD}}_t$ 设为零：两笔股利中，一笔已付，另一笔在到期之后。

忽略股利的方向

估值时忽略股利，会将多头价值高估 PVD，并将空头价值低估相同金额。股利在多头公式中为 $-{\mathrm{PVD}}_t$；漏掉该负项会使多头价值偏高、空头价值偏低。

两道方向题的完整复算

题 A：股价 30，20 天与 65 天各派息 0.30，60 天远期，利率 5%。 65 天那笔在到期之后 → 忽略。$\mathrm{PVD}=0.30/1.05^{20/365}=0.2992$，$\mathrm{FP}=(30-0.2992)\times 1.05^{60/365}=29.94$。

37 天后股价 21，剩余 23 天，期间没有未付股利（20 天那笔已付，65 天那笔在到期后）：

$V(\text{long})=21.00-\frac{29.94}{1.05^{23/365}}=-8.85V(\text{short})=+8.85$

题 B：股价 35，35 天与 125 天各派息 0.50，120 天远期，利率 4%。125 天那笔在到期之后 → 忽略。

$\mathrm{PVD}=\frac{0.50}{1.04^{35/365}}=0.4981\mathrm{FP}=(35-0.4981)\times 1.04^{120/365}=34.95$

45 天后股价 27.50，剩余 75 天，35 天那笔股利已付、125 天那笔在到期后，故 ${\mathrm{PVD}}_{45}=0$：

$V_{45}(\text{short})=-\left(27.50-\frac{34.95}{1.04^{75/365}}\right)=+7.17$

金额单位 USD。题目问的是空头（该经理持股并做空远期以对冲），股价下跌 → 空头赚钱 → 结果为正。复算：精确值 7.1695。

28.5 权益指数远期与连续股利率 — LOS 28.a

指数成分股可能有上百只，逐笔折现股利不现实。改为假定股利按指数股利率连续派发：

$\mathrm{FP}(\text{on an equity index})=S_0\times e^{(R_f^c-{\delta }^c)\times T}=\left(S_0\times e^{-{\delta }^c\times T}\right)\times e^{R_f^c\times T}$

其中 $R_f^c$ = 连续复利无风险利率，${\delta }^c$ = 连续复利股利率。右式先按股利率调整现货价，再按无风险利率增值，是离散股利公式 $(S_0-\mathrm{PVD})(1+R_f{)}^T$ 的连续版本。

指数远期定价

S&P 500 指数 1,140，连续复利无风险利率 4.6%，连续股利率 2.1%，求 140 天远期价。

$\mathrm{FP}=1,140\times e^{(0.046-0.021)\times (140/365)}=1,151$

TI BA II PLUS 键序：0.046 [−] 0.021 [=] [×] 140 [÷] 365 [=] [2nd] [LN] [×] 1140 [=]

复算：精确值 1,150.98。

第二例：指数 540，连续股利率 1.8%，连续复利无风险利率 7%，200 天：

$\mathrm{FP}=540\times e^{(0.07-0.018)\times (200/365)}=555.61$

$R_f^c$ 与 ${\delta }^c$ 必须同为连续复利口径

周期复利的 $R_f$ 先按 $R_f^c=\ln (1+R_f)$ 换算，再代入指数。指数远期用 365 天基准。

${\delta }^c$ 前面是减号：股利率越高，远期价越低，持有收益压低远期价。

L1 增量对照

L1 远期定价的连续复利表用 $b$ 表示持续股利收益，L2 R28 写作 ${\delta }^c$。L1 还包含仓储成本率 $c$，公式形如 $e^{(r+c-b)T}$；R28 对应 $c=0$ 的情形。

28.6 固定收益远期与国债期货 — LOS 28.d

附息债券的公式与股票完全同构，只是把 PVD/FVD 换成票息的现值 PVC / 终值 FVC：

$\mathrm{FP}(\text{on a fixed income security})=(S_0-\mathrm{PVC})\times (1+R_f{)}^T=S_0\times (1+R_f{)}^T-\mathrm{FVC}$

$V_t(\text{long position})=\left[S_t-{\mathrm{PVC}}_t\right]-\left[\frac{\mathrm{FP}}{(1+R_f{)}^{(T-t)}}\right]V_t(\text{long position})=\frac{{\mathrm{FP}}_t-\mathrm{FP}}{(1+R_f{)}^{(T-t)}}$

例题中的现货价含应计利息，即全价；合约期限以天给出时用 365 天基准。

250 天国债远期的定价

标的为 7% 美国国债，现货全价 1,050（含应计利息），刚付完票息、下一次付息在 182 天后，年无风险利率 6%。金额单位 USD。

美国国债半年付息：

$C=\frac{1,000\times 0.07}{2}=35.00\mathrm{PVC}=\frac{35.00}{1.06^{182/365}}=34.00$

$\mathrm{FP}=(1,050-34.00)\times 1.06^{250/365}=1,057.37$

100 天后为这份国债远期估值

100 天后债券价格为 1,090，无风险利率仍 6%。剩余 150 天，其间只剩一笔票息（82 天后）。

路径一（用现货价）：

${\mathrm{PVC}}_{100}=\frac{35.00}{1.06^{82/365}}=34.54$

$V_{100}(\text{long})=1,090-34.54-\frac{1,057.37}{1.06^{150/365}}=23.11$

路径二（用当前远期价）：若题目直接给出当前远期价 1,081.04，

$V_{100}(\text{long})=\frac{1,081.04-1,057.37}{1.06^{150/365}}=23.11$

回代校验：由路径一的现货数据反推的远期价应为 $(1,090-34.54)\times 1.06^{150/365}=1,081.03$，与题给的 1,081.04 吻合到分位。两条路径互为校验。

印刷材料的排版错位

“用现货价估值”例题的解答区出现了路径二的算式 $\frac{1081.04-1057.37}{1.06^{150/365}}$；下一道以路径二为题眼的例题（Louise Michelle 那道）在 “Answer:” 后留空。

后一题的答案被排到前一题的解答区。两题数字完全一致，不影响数值结果。上文已列出两条完整路径。

国债期货的交割选择权、全价与转换因子

债券期货常允许空头在若干只符合条件的债券中自行选择交割券。这项 delivery option（交割选择权）对空头有价值。每只可交割券配有 conversion factor（转换因子，CF），使价值较高的债券对应较高支付。多头到期支付期货价格乘以转换因子。

某些国家的债券按净价（clean price）报价，结算时买方实付全价（full price）：

$\text{accrued interest}=\left(\frac{\text{days since last coupon payment}}{\text{days between coupon payments}}\right)\times \text{coupon amount}$

$\text{full price}=\text{clean price}+\text{accrued interest}=\text{clean price}+{\mathrm{AI}}_0$

期货价格与报价期货价格（quoted futures price, QFP）：

$\mathrm{FP}=\left[(\text{full price})(1+R_f{)}^T-\mathrm{FVC}-{\mathrm{AI}}_T\right]$

$\mathrm{QFP}=\frac{\mathrm{FP}}{\mathrm{CF}}=\left[(\text{full price})(1+R_f{)}^T-\mathrm{FVC}-{\mathrm{AI}}_T\right]\left(\frac{1}{\mathrm{CF}}\right)$

${\mathrm{AI}}_T$ 是期货到期时的应计利息。

国债期货报价的计算

1.2 年期国债期货；最廉可交割券（cheapest-to-deliver）是 7% 息票、恰好还有 10 年到期的国债，报价 1,040，转换因子 1.13；刚付完票息故当前应计利息为 0；年无风险利率 5%；期货到期时该券的应计利息为 14。金额单位 USD。

全价 = 净价 1,040 + 应计 0 = 1,040。半年票息 = 35。持有人将在 0.5 年与 1.0 年各收到一次票息，分别距期货到期（1.2 年）还有 0.7 年与 0.2 年：

$\mathrm{FVC}=(35\times 1.05^{0.7})+(35\times 1.05^{0.2})=71.56$

$\mathrm{QFP}=\left[(1,040\times 1.05^{1.2})-71.56-14\right]\left(\frac{1}{1.13}\right)=900.13$

复算：$\mathrm{FVC}=71.5592$，$\mathrm{QFP}=900.1316$。

FVC、期限与转换因子

• FVC 是终值。票息向前复利到期货到期日，指数取剩余期限 $0.7$ 与 $0.2$；用 $0.5$ 与 $1.0$ 或折现会低估 FVC。
• 本例期限以年给出，1.2、0.7、0.2 直接进入指数，无须除以 365。期限以天给出时才换算。
• CF 是除数，$\mathrm{QFP}=\mathrm{FP}/\mathrm{CF}$。多头交割时支付“期货价 × CF”。将 QFP 乘以 CF 会得到 1,149，正确结果为 900。

附息债券远期定价

6% 国债现价 1,044（含应计利息），98 天后付息一次，未来 150 天内收益率曲线平坦于 5%，求 120 天远期价。金额单位 USD。

98 < 120，这笔票息落在合约期内，必须计入：

$C=\frac{1,000\times 0.06}{2}=30.00\mathrm{PVC}=\frac{30.00}{1.05^{98/365}}=29.61$

$\mathrm{FP}=(1,044-29.61)\times 1.05^{120/365}=1,030.79$

复算：$\mathrm{PVC}=29.6096$，$\mathrm{FP}=1,030.7931$。

L1 增量对照

L1 固定收益的 应计利息与净价/全价采用相同公式。L1 未介绍转换因子（conversion factor）、最廉可交割券（cheapest-to-deliver）和国债期货报价 QFP。

28.7 FRA 的价格与远期利率 — LOS 28.c

FRA 多头（long）是隐含贷款的借款方，即 long the loan。合约价格是这笔贷款的利率。

1. MRR 是 add-on rate，按 30/360 年化报价。30 天贷款报 6%，实际月利率是 $6\%\times 30/360=0.5\%$。
2. 多头是 long the rate，利率上升时获益。
3. 贷款利息在贷款期末支付，FRA 在合约到期日结算，因此 FRA 支付额是利息节省额的现值。

FRA 的结算方向

• 到期时浮动利率高于合约利率，多头按低于市场的利率借款，空头付钱给多头；
• 到期时浮动利率低于合约利率，按高于市场的利率放贷具有价值，多头付钱给空头。

FRA 以现金结算，没有实际借贷。因此，多头的信用状况不进入 FRA 利率定价；未来借贷只是理解合约现金流的方式。

$a\times b$ 记号

两个数字：$a$ = 合约到期的月数，$b$ = 标的贷款到期的月数；两者之差 = 标的贷款的期限。

例：$2\times 3$ FRA 在 2 个月（60 天）后到期，标的贷款在 3 个月（90 天）后结清。标的是从第 60 天开始的 30 天贷款，参考利率是 1 个月（30 天）MRR。

时点	事件
今天	FRA 签约
1 个月 / 30 天	—
2 个月 / 60 天	FRA 到期结算，隐含贷款起息
3 个月 / 90 天	隐含贷款到期

L1 增量对照

三套远期利率记号采用不同读法：

写法	出处	两个数字的含义	例子的标的期限
3 × 6 FRA	R28	前 = 合约到期月数，后 = 贷款到期月数	$6-3=3$ 个月
$F_{3m6m}$	L1 衍生品 FRA 小节	该节定义句写的是”从 A 月起、到 B 月止”，但紧接着的例句又把 $F_{3m6m}$ 读成”3 个月后开始的 6 个月期利率（即 3→9 个月）“	该页两种读法给出 3 个月与 6 个月两个答案
1y1y / 2y2y	L1 固定收益远期利率	前 = 起始时点，后 = 期限	2y2y 是 2 年后起息的 2 年期利率

R28 的答案解析将 3×6 解释为 90 天后起息的 90 天贷款，采用“起点 × 终点”读法。

L1 衍生品 FRA 小节的定义句与例句互不相容。R28 采用答案解析的“起点 × 终点”读法；固定收益科目的 1y1y 采用“起点 × 期限”，两者不能互换。

从即期利率求 FRA 远期利率

$\text{price of an }a\times b\text{ FRA}=\left[\frac{1+R_{\text{long}}}{1+R_{\text{short}}}-1\right]\times \frac{360}{\text{loan days}}$

其中 $R_{\text{short}}$ 是到合约到期日那一段的实际（未年化）利率，$R_{\text{long}}$ 是到贷款到期日那一段的实际利率。

$1\times 4$ FRA 的定价

求 $1\times 4$ FRA 的价格（即 30 天后起息的 90 天贷款）。当前 30 天 MRR = 4%，120 天 MRR = 5%。

$R_{30}=4\%\times \frac{30}{360}=0.333\%R_{120}=5\%\times \frac{120}{360}=1.667\%$

$\text{90 天期的实际远期利率}=\frac{1+R_{120}}{1+R_{30}}-1=\frac{1.01667}{1.00333}-1=1.33\%$

年化：$1.33\%\times \frac{360}{90}=5.32\%$

这就是使多空双方在签约时价值均为零的无套利远期利率。

期间	年化利率	实际（未年化）利率
今天到 1 个月（30 天）	0.04	0.00333
今天到 4 个月（120 天）	0.05	0.01667
1 个月到 4 个月（90 天 FRA 期）	FRA 价格 = 0.0532	0.0133

取整链条：未取整的实际远期利率是 1.32890%，年化 5.3156%；中途取整到 1.33% 再乘 4 得 5.32%。后续估值例题沿用 5.32%。

夹住贷款期间的两个即期利率

分母取”到 FRA 到期日”的利率，分子取”到贷款到期日”的利率。题目常多给一两个用不上的期限来干扰。

• $3\times 5$ FRA（90 天后起息的 60 天贷款）：给了 60 天 4%、90 天 5%、150 天 6%，要用的是 90 天与 150 天，60 天那个不进入计算。 $R_{90}=0.05\times 90/360=0.0125$，$R_{150}=0.06\times 150/360=0.025$， $\left(\frac{1.025}{1.0125}-1\right)\times \frac{360}{60}=7.4\%$。
• 要对冲”90 天后开始的 90 天贷款”的借款成本 → 做多一份 $3\times 6$ FRA（借款人怕利率上升，多头在利率上升时获益）。给了 30 天 4.5%、90 天 4.7%、180 天 4.9%，要用 90 天与 180 天： $\left(\frac{1.0245}{1.0118}-1\right)\times \frac{360}{90}=5.02\%$。 （不中途取整为 5.04%；两者指向同一个选项。）

28.8 FRA 到期日及到期日前估值 — LOS 28.c

FRA 的价值来自未来贷款的利息节省，这笔节省在贷款期末发生。估值分三步：计算新的远期利率，计算利息差额，再将差额从贷款期末折回估值日。

FRA 到期日估值

$\text{结算额}=\frac{\left({\mathrm{MRR}}_{\text{到期时的市场利率}}-\mathrm{FRA}\mathrm{rate}\right)\times \frac{\text{loan days}}{360}\times \text{notional}}{1+{\mathrm{MRR}}_{\text{到期时的市场利率}}\times \frac{\text{loan days}}{360}}$

$1\times 4$ FRA 在到期日的价值

名义本金 1,000,000 USD，合约利率 5.32%。到期时 90 天利率升到 6%（高于合约利率）。

贷款期末的利息节省：

$\left[\left(0.0600\times \frac{90}{360}\right)-\left(0.0532\times \frac{90}{360}\right)\right]\times 1,000,000=1,700$

折回结算日（早于贷款期末 90 天），用结算日当时的市场利率 6% 折现：

$\frac{1,700}{1+\left(0.06\times \frac{90}{360}\right)}=1,674.88$

这是空头付给多头的现金结算额（利率上升，多头获益）。

时点	事件 / 数值
0	FRA 签约
30 天	FRA 到期；合约利率 5.32%；90 天 MRR = 6%；FRA 价值 = 1,674.88
120 天	利息节省 1,700 在此实现

FRA 到期日前估值

三步法

Step 1：求新的 FRA 价格，即覆盖同一段贷款期间的当前市场远期利率。贷款起止时点不变，变化的是到起息日的剩余天数。 Step 2：用新旧两个利率算出这笔贷款上的利息差额（发生在贷款期末）。 Step 3：把差额按当前利率折回估值日。折现天数 = 距 FRA 到期的剩余天数 + 贷款天数。

$1\times 4$ FRA 在签约 10 天后的价值

5.32% 的 $1\times 4$ FRA，本金 1,000,000 USD，签约 10 天后估值。当前 110 天 MRR = 5.9%，20 天 MRR = 5.7%。

原来是 $1\times 4$，走过 10 天后 还有 20 天到期；标的仍是那笔从原起息日开始的 90 天贷款，故贷款期末距今 $20+90=110$ 天。

Step 1：20 天后起息的 90 天远期利率：

$\left[\frac{1+\left(0.059\times \frac{110}{360}\right)}{1+\left(0.057\times \frac{20}{360}\right)}-1\right]\times \frac{360}{90}=0.0592568$

Step 2：利息差额（发生在第 120 天）：

$\left[\left(0.0592568\times \frac{90}{360}\right)-\left(0.0532\times \frac{90}{360}\right)\right]\times 1,000,000=1,514.20$

Step 3：按 110 天利率折回今天：

$\frac{1,514.20}{1+\left(0.059\times \frac{110}{360}\right)}=1,487.39$

新远期利率高于合约利率 → 对多头为正 1,487.39，对空头为 −1,487.39。

复算：Step 1 精确值 0.05925680，Step 3 精确值 1,487.385。

存量 FRA 估值

某银行 30 天前以 3% 签了一份 $3\times 6$ FRA，名义本金 10,000,000 USD。当前 MRR 期限结构：

天数	利率
30	2.5%
60	2.6%
90	2.7%
120	2.9%
150	3.2%

走过 30 天，$3\times 6$ 变成 $2\times 5$。标的贷款仍为 90 天，起息日还剩 60 天，贷款期末距今 150 天。计算采用 60 天（2.6%）与 150 天（3.2%），其余三行不进入计算。

$\text{new FRA}=\left[\frac{1+0.032\times \frac{150}{360}}{1+0.026\times \frac{60}{360}}-1\right]\times \frac{360}{90}=\left[\frac{1.01333}{1.00433}-1\right]\times 4=3.584\%$

$V(\text{long})=\frac{(0.03584-0.03)\times \frac{90}{360}\times 10,000,000}{1+0.032\times \frac{150}{360}}=\frac{14,600}{1.01333}=14,407$

不中途取整的新远期利率是 3.58447%，利息差额 14,611.68，折现后 14,419.42。取整链条给出 14,407，与选项一致。三个选项分别对应：

数值	它是怎么来的
14,407	取整到 3.584% 后再折现（正确答案）
14,612	算出了利息差额但忘了折现
57,678	折了现但忘了乘 $90/360$，用年化利差直接乘本金（$14,419\times 4$）

28.9 期货盯市

期货与远期的定价关系大体相同，交易与结算机制不同：

• 期货在交易所交易，每家交易所有清算所（clearinghouse）；清算所把每笔成交一分为二，充当每个头寸的对手方，从而保证履约。
• 期货保证金（margin）用于履约担保，购买价款不包括保证金。交易双方缴纳保证金并每日结算。
• Marking to market（盯市）：每天按结算价调整保证金账户余额，反映合约价值相对前一交易日的变动。

$\text{value of futures contract}=\text{current futures price}-\text{previous mark-to-market price}$

盯市后的价值

远期与期货签约时价值都为零。期货账户每日盯市，当日盈亏结清后，价值回到零。任一时点的期货价格都使新合约价值为零。期货价值只在两次盯市之间偏离零。 期货价格上升时，多头头寸的价值上升；该价值在当期盯市结束时被重置为零。

L1 增量对照

L1 的 期货合约与 futures 与 forward 的 price/value 区别包括 initial / maintenance margin、margin call 补缴水平、novation，以及 为什么期货与远期价格可能不同（convexity bias）。R28 只讨论盯市使价值归零。L1 的 利率期货还包括 $100-\mathrm{MRR}$ 报价与 BPV，R28 未展开。

28.10 利率互换定价 — LOS 28.e

互换的定价与估值和远期相同。一方付浮动收固定，另一方付固定收浮动。签约时，固定利率定在使浮动端现值等于固定端现值的水平，双方价值均为零。这个固定利率称为 swap rate / swap fixed rate（SFR）；确定 SFR 即为互换定价。

贴现因子与 SFR

SFR 由与互换期限对应的 MRR 曲线推出。以两年期、半年结算的互换为例，用四个结算日对应的 MRR 算出四个贴现因子：

$Z=\frac{1}{1+\left(\mathrm{MRR}\times \frac{\text{days}}{360}\right)}$

$\mathrm{SFR}(\text{periodic})=\frac{1-\text{final discount factor}}{\text{sum of discount factors}}$

$\text{swap fixed rate (annual)}=\mathrm{SFR}(\text{periodic})\times \text{每年结算次数}$

$Z$ 的计息基准

$Z$ 按单利和 360 天计算，分母为 $1+\mathrm{MRR}\times \text{days}/360$。周期复利式 $(1+\mathrm{MRR}{)}^{\text{days}/365}$ 不适用。季度互换每年结算次数为 $360/90=4$，半年互换为 $360/180=2$。

季度结算互换的固定利率

当前年化 MRR 即期利率：90 天 3.0%、180 天 3.5%、270 天 4.0%、360 天 4.5%。1 年期、季度结算、名义本金 5,000,000 USD。求固定利率、季度固定支付额、首期净额。

$Z_{90}=\frac{1}{1+\left(0.030\times \frac{90}{360}\right)}=0.99256Z_{180}=\frac{1}{1+\left(0.035\times \frac{180}{360}\right)}=0.98280$

$Z_{270}=\frac{1}{1+\left(0.040\times \frac{270}{360}\right)}=0.97087Z_{360}=\frac{1}{1+\left(0.045\times \frac{360}{360}\right)}=0.95694$

$\mathrm{SFR}(\text{quarterly})=\frac{1-0.95694}{0.99256+0.98280+0.97087+0.95694}=0.011=1.1\%$

年化：$1.1\%\times \frac{360}{90}=4.4\%$。季度固定支付 $=5,000,000\times 0.011=55,000$。

复算：贴现因子之和 3.903168，未取整的季度 SFR 为 1.10326%（年化 4.4131%），季度支付 55,163。取整到 1.1% / 4.4% 后，后续估值例题沿用 4.4%。

贴现因子表

考试可能直接提供贴现因子表。已知因子时，直接代入 $(1-Z_N)/\Sigma Z$。

首期净额

浮动端的首期支付在签约时已经确定，采用签约时已知的 90 天利率 3.0%。

$\text{首期浮动支付}=0.030\times \frac{90}{360}\times 5,000,000=37,500$

$\text{首期固定支付}=0.011\times 5,000,000=55,000$

$\boxed{\text{首期净额}=55,000-37,500=17,500\text{USD，由固定利率支付方支付}}$

印刷材料的数值矛盾

印刷材料先按年化净利差 $4.4\%-3.0\%=1.4\%$ 计算：$(0.014)\times (90/360)\times 5,000,000=17,500$，由固定利率支付方支付。随后却写成 $55,000-17,500=37,500$，将净额 17,500 当作浮动端支付。

浮动端支付为 37,500，首期净额为 17,500 USD，由固定利率支付方支付。两种算法一致：净利差法为 $1.4\%\times 90/360\times 5\mathrm{m}=17,500$；逐腿相减法为 $55,000-37,500=17,500$。

L1 增量对照

L1 par swap rate 使用周期复利即期利率：

${\sum }_{n=1}^N\frac{{\mathrm{MRR}}_n}{(1+S_n{)}^n}={\sum }_{n=1}^N\frac{F}{(1+S_n{)}^n}$

L2 R28 使用单利贴现因子：$Z=1/(1+\mathrm{MRR}\times \text{days}/360)$，SFR $=(1-Z_N)/\Sigma Z$。

两者都计算使签约时价值为零的固定利率，但折现约定和代数形式不同，数值也可能不同。L2 题采用 L2 的因子式。

L1 衍生品用 $Z_n$ 表示 $n$ 期即期利率，信用科目另有 Z-spread；R28 的 $Z$ 表示小于 1 的贴现因子。

28.11 利率互换的估值 — LOS 28.e

考纲范围

利率互换只要求在结算完成后的结算日估值。结算日之间的估值只适用于权益互换。

签约之后利率变动，互换对某一方产生正值：

• 固定利率支付方（payer）在利率上升时获益：支付旧的较低固定利率，收取新的较高浮动利率；
• 固定利率收取方（receiver）在利率下降时获益：收取旧的较高固定利率，支付新的较低浮动利率。

$\text{value to the payer}=\Sigma Z\times \left({\mathrm{SFR}}_{\text{New}}-{\mathrm{SFR}}_{\text{Old}}\right)\times \frac{\text{days}}{360}\times \text{notional principal}$

其中 $\Sigma Z$ 是剩余各结算期对应的贴现因子之和，days 是一个结算期的天数。收取方的价值等于该式的相反数。

结算日的互换估值

1 年期、季度结算、5,000,000 USD 名义本金，签约时 SFR = 4.4%。180 天后 MRR 期限结构在未来一年内平坦于 3.5%。求对固定利率收取方的价值。

$t=180$ 时还剩两个结算日（90 天后与 180 天后）：

$Z_{90}=\frac{1}{1+\left(0.035\times \frac{90}{360}\right)}=0.9913Z_{180}=\frac{1}{1+\left(0.035\times \frac{180}{360}\right)}=0.9828$

$\Sigma Z=0.9913+0.9828=1.9741$

$\text{value to the payer}=1.9741\times (0.035-0.044)\times \frac{90}{360}\times 5,000,000=-22,209$

$\text{value to the receiver}=+22,209$

利率下降 → 付固定的一方亏、收固定的一方赚。方向自洽。

平坦曲线下的新 SFR

正文将平坦于 3.5% 的 MRR 期限结构直接当作 3.5% 的新 SFR。按贴现因子重算：

${\mathrm{SFR}}_{\text{New}}=\frac{1-0.98280}{0.99133+0.98280}\times 4=3.4849\%$

两者相差 1.5 个基点。MRR 是单利加算利率，平坦的单利即期曲线不会产生平坦的远期曲线；90–180 天隐含远期为 3.4696%，par swap rate 位于两者之间。重算后的价值为 −22,582；采用 3.5% 时为 −22,209。符号与结论不变，量级相差约 1.7%。

答案解析采用新贴现因子重算 SFR：${\mathrm{SFR}}_{\text{New}}=\frac{1-Z_N}{\Sigma Z}\times \frac{360}{\text{days}}$。题目给出贴现因子时按此式重算；直接给出新 SFR 时使用题给数值。

半年结算互换的定价与盯市

2 年期、半年付、固定换浮动。当前 180 / 360 / 540 / 720 天年化 MRR 与贴现因子：

期限	年化 MRR	贴现因子
180 天	5.0%	0.9756
360 天	6.0%	0.9434
540 天	6.5%	0.9112
720 天	7.0%	0.8772

回代校验：按 $Z=1/(1+\mathrm{MRR}\times \text{days}/360)$ 逐行得到 0.97561 / 0.94340 / 0.91116 / 0.87719，四行均与题给因子吻合，情景表无转录错误。

$\text{半年 SFR}=\frac{1-0.8772}{0.9756+0.9434+0.9112+0.8772}=0.0331\text{年化}=0.0331\times \frac{360}{180}=6.62\%$

180 天后盯市：新的 180 / 360 / 540 天年化 MRR 为 4.5% / 5% / 6%，因子 0.9780 / 0.9524 / 0.9174（回代为 0.97800 / 0.95238 / 0.91743，均吻合）。

$\Sigma \mathrm{DF}=2.8478{\mathrm{SFR}}_{\text{New}}=\frac{1-0.9174}{2.8478}\times \frac{360}{180}=5.801\%$

$\frac{\text{value to payer}}{\text{notional}}=\frac{0.05801-0.0662}{2}\times 2.8478=-0.01166\text{per 1 USD}$

${\mathrm{SFR}}_{\text{New}}$ 保留到 5.801% 时得到 −0.01166；若提前取整为 5.80%，结果为 −0.01168，与选项末位不同。

利率下降 → 付固定方为负 → 由固定利率支付方付款给对手方以完成盯市。

选项将 market value 写成正数 0.01166，并另设“由谁付款”一列。两个 0.01166 选项的差别在付款方向。payer 的价值为 −0.01166，等价于 payer 付出 0.01166。

只给因子求年化互换利率

1 年期季度结算，90 / 180 / 270 / 360 天 MRR 为 4.2% / 4.8% / 5.0% / 5.2%，对应因子 0.98961 / 0.97656 / 0.96386 / 0.95057，合计 3.88060。

回代校验：四行因子与利率均自洽，合计为 3.88060。

$\text{季度 SFR}=\frac{1-0.95057}{3.88060}=1.27\%\text{年化}=1.27\%\times \frac{360}{90}=5.08\%$

复算：不中途取整则季度 1.27377%、年化 5.095%；两者指向同一选项。

28.12 货币互换 — LOS 28.f

货币互换的结构

1. 两条收益率曲线、两个固定利率：每种货币各按本国曲线和 $\mathrm{SFR}=(1-Z_N)/\Sigma Z$ 计算 swap fixed rate。
2. 两笔名义本金按签约时的汇率折算成等值，在签约时交换，并在到期时换回。

例：汇率为 2.00 USD per GBP（即 0.50 GBP per USD）时，若 USD 侧名义本金 25,000,000，则 GBP 侧名义本金为 12,500,000。

货币互换的定价

USD 侧 1 年期季度互换的固定利率为季度 1.1%（年化 4.4%），名义本金 5,000,000 USD。GBP 侧年化 MRR 即期利率为 90 天 4%、180 天 5%、270 天 6%、360 天 7%；当前汇率 0.50 GBP per USD。

$Z_{90}^{\mathrm{GBP}}=\frac{1}{1+\left(0.04\times \frac{90}{360}\right)}=0.99010Z_{180}^{\mathrm{GBP}}=\frac{1}{1+\left(0.05\times \frac{180}{360}\right)}=0.97561$

$Z_{270}^{\mathrm{GBP}}=\frac{1}{1+\left(0.06\times \frac{270}{360}\right)}=0.95694Z_{360}^{\mathrm{GBP}}=\frac{1}{1+\left(0.07\times \frac{360}{360}\right)}=0.93458$

${\mathrm{SFR}}^{\mathrm{GBP}}(\text{quarterly})=\frac{1-0.93458}{0.99010+0.97561+0.95694+0.93458}=0.017=1.7\%\Rightarrow \text{年化}6.8\%$

GBP 名义本金 $=5,000,000\times 0.50\text{GBP per USD}=2,500,000$ GBP。

“付 USD 固定、收 GBP 固定”这一方的现金流：签约时用 2,500,000 GBP 换入 5,000,000 USD；此后每季付出 $5,000,000\times 1.1\%=55,000$ USD，收到 $2,500,000\times 1.7\%=42,500$ GBP；1 年末换回原本金。

复算：GBP 因子之和 3.857226，未取整季度 SFR 为 1.69605%（年化 6.784%）。

估值

货币互换对任一方的价值 = 预期收到的现金流现值 − 应付现金流现值。两条腿先按各自货币算成债券价值，再按估值日的即期汇率换成同一种货币后相减。

300 天后为这份货币互换估值

承上例。300 天后：60 天 USD 利率 5.4%，60 天 GBP 利率 6.6%，汇率 0.52 GBP per USD。求这份 5,000,000 USD 互换对”收 USD 固定、付 GBP 固定”一方的价值。

300 天时只剩最后一次利息与本金归还，都在 60 天后：

$Z_{60}^{\mathrm{USD}}=\frac{1}{1+\left(0.054\times \frac{60}{360}\right)}=0.99108Z_{60}^{\mathrm{GBP}}=\frac{1}{1+\left(0.066\times \frac{60}{360}\right)}=0.98912$

USD 固定端等价于一只 60 天后到期、届时付息 55,000 的 5,000,000 面值债券：

$0.99108\times 5,055,000=5,009,909\mathrm{USD}$

GBP 固定端的末期现金流为 $2,500,000+42,500=2,542,500$ GBP：

$0.98912\times 2,542,500=2,514,838\mathrm{GBP}$

按估值日汇率换成 USD（报价是 GBP per USD，所以 GBP 金额要除以 0.52）：

$\frac{2,514,838}{0.52}=4,836,227\mathrm{USD}$

$V(\text{收 USD 固定、付 GBP 固定})=5,009,909-4,836,227=+173,682\mathrm{USD}$

复算：不取整中间值为 +173,686。

估值方向

(1) 定价例题设定“付 USD 固定、收 GBP 固定”，估值例题计算其对手方“收 USD 固定、付 GBP 固定”的价值。定价例题中那一方的价值为 −173,682 USD。

(2) 0.52 的报价单位是 GBP per USD，GBP 换成 USD 时按该汇率相除。误乘 0.52 会将 GBP 端算成约 1,308,000 USD。

(3) 汇率从 0.50 升到 0.52 GBP per USD，每 1 USD 可换得更多 GBP，即 GBP 相对走弱。收 USD、付 GBP 的一方支付端变便宜，价值为正，与 +173,682 一致。这项检查需 5 秒。

存量货币互换估值

某银行 200 天前签了一份 1 年期、季度支付的货币互换：以 1,000,000 USD 换 800,000 EUR；付 EUR 侧年化固定 5%，收 USD 侧年化固定 4.2%。当前即期汇率 0.75 EUR per USD。

期限	年化 MRR	贴现因子
70 天 USD	4.0%	0.9923
90 天 USD	4.4%	0.9891
160 天 USD	4.8%	0.9791
180 天 USD	5.2%	0.9747
70 天 EUR	5.2%	0.9900
90 天 EUR	5.6%	0.9862
160 天 EUR	6.1%	0.9736
180 天 EUR	6.3%	0.9695

回代校验：八行因子按 $Z=1/(1+\mathrm{MRR}\times \text{days}/360)$ 逐行计算均吻合，无转录错误。

选对期限：走过 200 天，剩下两次结算在第 270 天与第 360 天，即距今 70 天与 160 天。90 天与 180 天两行是干扰项（它们对应的是”已走过 180 天”的情形）。

$\text{USD 端季度息}=1,000,000\times \frac{0.042}{4}=10,500\text{EUR 端季度息}=800,000\times \frac{0.05}{4}=10,000$

$V_{\mathrm{USD}\mathrm{leg}}=0.9923\times 10,500+0.9791\times 1,010,500=999,800\mathrm{USD}$

$V_{\mathrm{EUR}\mathrm{leg}}=0.9900\times 10,000+0.9736\times 810,000=798,516\mathrm{EUR}\Rightarrow \frac{798,516}{0.75}=1,064,688\mathrm{USD}$

$V(\text{对银行})=999,800-1,064,688=-64,888\mathrm{USD}$

签约时隐含汇率为 $800,000/1,000,000=0.80$ EUR per USD，当前为 0.75。每 1 USD 换得的 EUR 减少，即 EUR 走强。银行支付 EUR 端，支付端变贵，价值为负，与 −64,888 一致。

用互换对冲既有外币负债

情景：汇率 0.70 USD per CAD，一份 1,000,000 USD 的固定换浮动货币互换，签约方要对冲的是既有的 CAD 固定利率负债。

• 对冲“付 CAD 固定利息”敞口时，互换中收取 CAD 固定利率；该固定利率按加拿大收益率曲线在签约时确定。
• 在 fixed-for-floating 互换中，收 CAD 固定的一方支付基于美国收益率曲线的浮动利率。
• CAD 本金为 $1,000,000/0.70=\mathrm{CAD}1,428,571$。该方在签约时收到 1,000,000 USD，以上述 CAD 金额为对价，并在到期时归还 USD 本金。

28.13 权益互换 — LOS 28.g

定价：付固定端的 $N$ 期权益互换，固定利率用与普通互换完全相同的公式：

$\mathrm{SFR}(\text{periodic})=\frac{1-\text{final discount factor}}{\text{sum of discount factors}}$

估值分两种情形：

1. 在刚结算完的结算日，使用利率互换估值公式；
2. 在两个结算日之间，分别计算两条腿的价值后相减。权益互换是 R28 唯一要求在结算日之间估值的品种。

付固定、收权益回报的互换在两次结算之间的估值

名义本金 10,000,000 USD，1 年期季度结算，固定利率 6.05%，签约时指数为 985。30 天后指数为 996，MRR 期限结构为 60 / 150 / 240 / 330 天分别 6% / 6.5% / 7% / 7.5%，对应贴现因子 0.99010 / 0.97363 / 0.95541 / 0.93567。求第 30 天对固定利率支付方的价值。

回代校验：四个因子与四个利率按 $Z=1/(1+\mathrm{MRR}\times \text{days}/360)$ 均吻合。

固定端按债券估值，即票息现值加本金现值：

$V_{\text{fixed}}(\text{per 1 USD})=\frac{0.0605}{4}\left(0.99010+0.97363+0.95541+0.93567\right)+0.93567\times 1=0.9940$

$V_{\text{fixed}}=0.9940\times 10,000,000=9,940,000\mathrm{USD}$

权益端按指数涨幅折算：

$10,000,000\times \frac{996}{985}=10,111,675\mathrm{USD}$

$V(\text{对固定利率支付方})=10,111,675-9,940,000=+171,675\mathrm{USD}$

复算：固定端未取整为 0.993974（$9,939,740$），价值 171,935；取整到 0.9940 得 171,675。

固定端的两套算法

• 结算日之间（本例）：固定端按债券估值，$\Sigma Z\times$ 票息 $+$ 末期 $Z\times$ 本金。
• 结算日：使用 $\Sigma Z\times ({\mathrm{SFR}}_{\text{New}}-{\mathrm{SFR}}_{\text{Old}})\times \frac{\text{days}}{360}\times$ 名义本金。

债券法用于两腿分别估值，差额法用于结算日的价值变化；混用会得到错误数值。

权益端的参照基准

权益端从上一个结算日的指数起算。上例使用签约时指数 985，是因为签约后 30 天内尚未发生结算。

某银行 300 天前签了 5,000,000 USD、1 年期季度付的权益互换，付 4% 年化固定、收国际股指回报。指数在第三季度末（30 天前）为 3,000，现在为 3,150；当前 60 天 MRR 3.6%，贴现因子 0.9940（回代为 0.994036）。

$\text{60 天后的固定端现金流}=5,000,000\times \frac{0.04}{4}+5,000,000=5,050,000$

$V_{\text{fixed}}=0.9940\times 5,050,000=5,019,700V_{\text{equity}}=5,000,000\times \frac{3,150}{3,000}=5,250,000$

$V(\text{对银行})=5,250,000-5,019,700=+230,300\mathrm{USD}$

银行收权益端，指数从上次结算的 3,000 涨到 3,150，银行获益。使用签约时指数起算时，没有可匹配的答案选项。

一种股票回报换另一种股票回报

这类互换相当于买入一只股票并收取其回报，同时等额卖空另一只股票并支付其回报。签约时没有定价问题；任一时点的价值 = 自上次支付日以来两个回报之差 × 名义本金。

股票对股票互换的估值

投资者是 Stock A 回报的支付方（同时是 Stock B 回报的收取方），名义本金 1,000,000 USD，季度支付。一个月后 Stock A 上涨 1.3%，Stock B 下跌 0.8%。求对该投资者的价值。

他要付出 Stock A 的回报（$+1.3\%$，是流出）；他收取 Stock B 的回报，但 Stock B 的回报是负的，所以这一端也是流出：

$V=(-0.013-0.008)\times 1,000,000=-21,000\mathrm{USD}$

收取负回报

收取 $-0.8\%$ 回报也产生流出。两条腿合计可写为 $-0.013+(-0.008)$。若写成 $-0.013+0.008=-0.5\%$，会得到 −5,000；正确结果为 −21,000。两条腿的带符号现金流分别为：付 A 端 $=-1.3\%$；收 B 端 $=+(-0.8\%)=-0.8\%$；合计 $-2.1\%$。

L1 增量对照

L1 未介绍权益互换；货币互换只在练习题选项中用于说明其属于 forward commitment，没有介绍机制或估值。L1 互换介绍普通利率互换与 CDS。

28.14 方向归位表

各估值公式对应一方的价值，对手方价值等额反号：

合约	公式默认写的是哪一方	这一方在什么变动下获益	对手方
权益远期	多头 long（约定价买入）	$S_t$ 上升	等额反号
权益指数远期	同上（定价式无方向）	$S_t$ 上升	等额反号
固定收益远期	多头 long	债券价格上升	等额反号
国债期货	报价式 QFP 无方向；结算价上升时，盯市差额对多头为正	期货价上升	等额反号
FRA	多头 long（“名义借款人”，long the rate）	参考利率上升	等额反号
利率互换	固定利率支付方 payer	新 SFR 高于旧 SFR	收取方等额反号
货币互换	按“收 X、付 Y”区分；价值 = PV(收) − PV(付)	收取端货币走强 / 付出端货币走弱	对手方等额反号
权益互换	题目指定的一方，如付固定方	权益端价值高于固定端价值	对手方等额反号

五类估值算法

合约	价值 =
远期（权益 / 固收）	调整后现货价 − 约定远期价的现值
远期（已知当前远期价）	(当前远期价 − 约定远期价) 的现值，折现期为剩余期限
FRA	利息差额的现值，从贷款期末折回估值日
利率互换（结算日）	$\Sigma Z\times$ 新旧 SFR 之差 $\times$ 期间天数/360 $\times$ 名义本金
货币互换 / 权益互换（结算日之间）	两条腿各自按债券或市值估值后相减，换算到同一货币

28.15 item set 实操

典型考题给出即期 MRR、贴现因子、指数点位或债券报价，要求计算价格或价值。处理顺序如下：

graph TD
  S0["1 先问：定价还是估值？"] -->|"定价 t=0"| P1["求一个率或价<br/>目标：使 V=0"]
  S0 -->|"估值 t>0"| V1["先写下：我在给谁估值"]
  P1 --> T1["2 标的是哪一类？"]
  V1 --> T1
  T1 -->|"股票 / 股票组合"| E1["365 天 + 周期复利<br/>减 PVD 或 FVD"]
  T1 -->|"股票指数"| E2["365 天 + 连续复利<br/>指数用 exp of Rc minus delta"]
  T1 -->|"附息债券"| E3["365 天 + 周期复利<br/>减 PVC；期货再除 CF"]
  T1 -->|"利率 FRA"| E4["360 天 + 单利<br/>取夹住贷款的两个即期利率"]
  T1 -->|"互换"| E5["360 天 + 单利<br/>先算 Z 再算 SFR"]
  E1 --> C1["3 现金流筛选<br/>只留落在剩余期内且尚未支付的"]
  E3 --> C1
  E2 --> C2
  E4 --> C2["4 折现期核对<br/>剩余期限？还是到贷款期末？"]
  E5 --> C2
  C1 --> C2
  C2 --> D1["5 核对符号<br/>按方向检验结果"]

常见错误

步骤	典型错误	对应小节
判定价/估值	把“求 no-arbitrage value”当成求远期价，或反过来	定价与估值
点名方向	公式算多头/payer，题目问空头/receiver，却没有取反号	方向归位表
选时间基准	FRA 或互换用了 365 与周期复利；债券远期用了 360	三套时间基准
筛现金流	将到期日之后的股利/票息计入，或将已支付股利留在 PVD 中	权益远期与固定收益远期
挑即期利率	使用干扰期限，没有取夹住贷款的两端	FRA 的价格与远期利率
定折现期	远期估值按原始期限 $T$ 折现；FRA 只折贷款天数，漏掉到合约到期的剩余天数	权益远期与 FRA 估值
转换因子	QFP 乘以 CF	固定收益远期与国债期货
权益端基准	使用签约时指数，没有使用上一结算日指数	权益互换
汇率换算	X per Y 报价的乘除方向相反	货币互换
净额与单腿	将净利差当作某一条腿的支付额	利率互换定价

---

R29: 或有索取权估值 Valuation of Contingent Claims

Reading 29 | Modules 29.1–29.7 | LOS 29.a–29.n

本篇金额单位均为 USD，公式内只写数字。二叉树与连续时间模型采用不同的复利约定：

模型	记号	复利约定	折现因子	例
二叉树	$R_f$	周期复利，且为每期利率	$\frac{1}{1+R_f}$	每期 7%，除以 1.07
BSM / Black	$r$、$R_f^c$	年化连续复利	$e^{-rT}$	年化 3%、$T=0.5$，乘 $e^{-0.015}$

二叉树不能使用 $e^{-rT}$，BSM 与 Black 模型也不能使用 $1/(1+R_f)$。

与 Level I 的衔接：L1 衍生品中的 期权、二叉树模型和 看跌看涨平价覆盖了本篇的基础定义。L1 与 L2 有四处差异：

项目	L1	L2 R29	使用时的影响
上下行系数	$R^u$、$R^d$	$U$、$D$，定义相同	$U=1+\%\text{up}$，$D=1-\%\text{down}$
看跌对冲比率 $h$	$h=\frac{p^d-p^u}{S^u-S^d}>0$	$h=\frac{P^{+}-P^{-}}{S^{+}-S^{-}}<0$	L2 估值式要求 $h<0$；代入 L1 的正号约定会得到 10.85，L2 约定得到 3.16
看跌看涨平价	$c+X(1+R_f{)}^{-T}=S+p$	二叉树使用离散式；BSM 使用 $P_0+S_0{e}^{-\delta T}=C_0+e^{-rT}X$	BSM 采用连续复利，并含股利项
到期时间	期限较长通常提高期权价值	theta $<0$ 表示时间流逝会降低价值	前者比较不同期限的期权，后者跟踪同一份期权

本 reading 未展开 payoff、profit、breakeven、四种基本头寸、moneyness、欧式期权上下界、put-call-forward parity 和 cost of carry。相关内容见 L1。二叉树还需满足 $D<1+R_f<U$，否则存在套利机会。

graph LR
  ROOT((或有索取权估值<br/>Contingent Claims))
  ROOT --- A["离散时间：二叉树<br/>Binomial Lattice"]
  A --- A1("风险中性概率 π")
  A --- A2("两期回溯 Backward Induction")
  A --- A3("美式：逐节点比行权 vs 继续持有")
  A --- A4("对冲比率 h 与套利")
  A --- A5("利率树 / 债券期权")
  ROOT --- B["连续时间：BSM<br/>Black-Scholes-Merton"]
  B --- B1("六条假设")
  B --- B2("杠杆化持股解读")
  B --- B3("股利 δ 与货币期权")
  ROOT --- C["Black 模型<br/>Black Model"]
  C --- C1("期货期权")
  C --- C2("利率期权 / 上下限")
  C --- C3("互换期权 Swaptions")
  ROOT --- D["风险敏感度<br/>Greeks"]
  D --- D1("Delta / Gamma")
  D --- D2("Vega / Rho / Theta")
  D --- D3("Delta 对冲与 Gamma 风险")
  D --- D4("隐含波动率")

29.1 二叉树框架与风险中性概率 Binomial Framework

二叉树假设标的资产下一期只有两个可能取值。建树需要期初资产价格、两个变动幅度和每个变动的概率。

不同措辞对应的符号如下：

题目措辞	符号	数值形态	例
up move factor；“price increases by a factor of”	$U$	$U=1+\%\text{up}=S^{+}/S_0$	上涨 33.3% → $U=1.333$
down move factor	$D$	$D=1-\%\text{down}=S^{-}/S_0$	下跌 25% → $D=0.75$
“will move up by 15%“	$U$	毛系数为 1.15	上涨 15% → $U=1.15$
“will move down by 13%“	$D$	$1-0.13$	下跌 13% → $D=0.87$
probability of an up move	${\pi }_U$	由 $U,D,R_f$ 算出的风险中性概率	见下式

$S^{+}=S_0\times U,S^{-}=S_0\times D$

${\pi }_U=\frac{1+R_f-D}{U-D},{\pi }_D=1-{\pi }_U$

其中 $R_f$ 是周期复利的每期无风险利率。若一期正好是一年，它与年利率数值相同；题目写「7% per period」时直接代入 7%。

${\pi }_U$ 和 ${\pi }_D$ 是风险中性概率，不代表市场对实际涨跌的预期。期望法用这组概率加权，再按 $R_f$ 折现。真实概率下需要风险调整折现率。风险中性概率只由 $U$、$D$ 和 $R_f$ 决定；例如，题目另给 60% 的实际上涨概率时，该数字不进入计算。

期望法分三步：

1. 算出到期日每个状态下期权的 payoff；
2. 用 ${\pi }_U,{\pi }_D$ 加权得到期权的期望值；
3. 按 $R_f$ 折现回今天。

$C_0=\frac{{\pi }_U{C}^{+}+{\pi }_D{C}^{-}}{1+R_f},P_0=\frac{{\pi }_U{P}^{+}+{\pi }_D{P}^{-}}{1+R_f}$

29.2 一期二叉树定价 One-Period Model

一期看涨与看跌（ $S_0=30$，$X=30$，$U=1.333$，$D=0.75$，$R_f=7\%$／期）

第一步 概率：

${\pi }_U=\frac{1+0.07-0.75}{1.33-0.75}=0.55,{\pi }_D=0.45$

第二步 各状态下的股价与 payoff（金额单位 USD）：

一年后状态	概率	股价	Call payoff	Put payoff
上行	${\pi }_U=0.55$	$S^{+}=30\times 1.333=40.00$	$C^{+}=\max (0,40-30)=10.00$	$P^{+}=\max (0,30-40)=0$
下行	${\pi }_D=0.45$	$S^{-}=30\times 0.750=22.50$	$C^{-}=\max (0,22.50-30)=0$	$P^{-}=\max (0,30-22.50)=7.50$

第三步 期望与折现：

$E(\text{call})=10\times 0.55+0\times 0.45=5.50\Rightarrow C_0=\frac{5.50}{1.07}=5.14$

$E(\text{put})=0\times 0.55+7.50\times 0.45=3.375\Rightarrow P_0=\frac{3.375}{1.07}=3.15$

取整差异

概率公式采用 1.33 时，${\pi }_U=0.5517$；采用 1.333 时，${\pi }_U=0.5489$。两者均取整为 0.55，选项不变。股价 $S^{+}=40.00$ 对应的精确系数为 $U=4/3$：

${\pi }_U=\frac{1.07-0.75}{4/3-0.75}=0.548571$

口径	${\pi }_U$	$C_0$	$P_0$
题目取整（$\pi$ 取到 0.55）	0.5500	5.14	3.15
精确（$U=4/3$）	0.548571	5.1268	3.1642

差额约 1 美分，不改变选项。后面的平价校验和对冲比率计算会分别得到 5.14 与 5.13，差异也来自这里的取整。

29.3 看跌看涨平价与合成工具 Put-Call Parity

$S_0+P_0=C_0+\mathrm{PV}(X)$

左边是 protective put（多股票 + 多看跌），右边是 fiduciary call（多看涨 + 一张面值为 $X$ 的零息债）。前提：同一标的、同一行权价、同一到期日，且都是欧式。

平价校验

用一期二叉树的取整结果校验，$\mathrm{PV}(X)=30/1.07=28.04$：

$S_0+P_0=30+3.15=33.15,C_0+\mathrm{PV}(X)=5.14+28.04=33.18$

两边相差 0.03。改用精确值后，两边完全相等：

$30+3.1642=33.1642=5.1268+28.0374$

二叉树价格满足欧式平价。取整可能造成几分钱的差异；差额明显更大时，应复查计算。

平价式移项可得到两个合成头寸：

$C_0=S_0+P_0-\mathrm{PV}(X)\text{（合成看涨：多股票 + 多看跌 + 按 }{R}_f\text{ 借入 }\mathrm{PV}(X)\text{）}$

$P_0=C_0-S_0+\mathrm{PV}(X)\text{（合成看跌：多看涨 + 空股票 + 投资 }\mathrm{PV}(X)\text{ 的零息债）}$

合成看跌由三条腿组成：买入看涨、卖空股票、买入行权价现值的纯贴现无风险债券。L1 的 看跌看涨平价还包括合成股票和合成债券；本 reading 只使用上面两个组合。

用平价求隐含的看跌价格

Cross Reef 一年期看涨（$X=60$）市价 8，现价 $S_0=62$，$R_f=4\%$。

$P_0=C_0-S_0+\frac{X}{(1+R_f{)}^T}=8-62+\frac{60}{1.04}=3.69$

这里的 $R_f$ 采用周期复利，除以 1.04。股利股票与货币期权一节的 BSM 平价采用连续复利，乘以 $e^{-rT}$。

29.4 两期欧式二叉树 Two-Period Model

六步法

1. 计算两期末的股价。由于「先上后下」和「先下后上」落在同一个节点，共有三个结果；
2. 算这三个节点上的期权 payoff；
3. 用 ${\pi }_U,{\pi }_D$ 对 $t=2$ 的 payoff 加权求期望；
4. 按 $R_f$ 折现一期，得到 $t=1$ 两个节点的期权值 $C^{+}$、$C^{-}$；
5. 用 ${\pi }_U,{\pi }_D$ 对 $C^{+},C^{-}$ 加权求期望；
6. 再折现一期，得到 $t=0$ 的期权值。

逐期回溯（backward induction）时，每一步只做「加权 + 折现一期」。欧式期权可以把 $t=2$ 的期望一次折现两期；美式期权需要在中间节点检查提前行权，因此必须逐期回溯。

重组（recombining）的含义

重组指上行后下行与下行后上行到达同一个节点，因此 $n$ 期只有 $n+1$ 个终端节点。中间节点仅在 $U\times D=1$ 时回到 $S_0$。

例如，$U=1.15$、$D=0.87$ 时，$U\times D=1.0005\ne 1$，中间节点为 $80\times 1.15\times 0.87=80.04$。题目取整为 80。

两期欧式看涨（ $S_0=50$，$X=45$，$U=1.25$，$D=0.80$，$R_f=7\%$／期）

${\pi }_U=\frac{1+0.07-0.80}{1.25-0.80}=\frac{0.27}{0.45}=0.60,{\pi }_D=0.40$

时点	路径	股价	期权值
$t=0$	—	50.00	12.51
$t=1$	上	62.50	20.45
$t=1$	下	40.00	2.80
$t=2$	上上	78.13	$\max (0,78.13-45)=33.13$
$t=2$	上下／下上	50.00	$\max (0,50-45)=5.00$
$t=2$	下下	32.00	$\max (0,32-45)=0$

$C^{+}=\frac{0.6\times 33.13+0.4\times 5.00}{1.07}=\frac{21.88}{1.07}=20.45$

$C^{-}=\frac{0.6\times 5.00+0.4\times 0}{1.07}=\frac{3.00}{1.07}=2.80$

$C_0=\frac{0.6\times 20.45+0.4\times 2.80}{1.07}=\frac{13.39}{1.07}=12.51$

复算：不取整时 $S^{++}=78.125$、$C^{++}=33.125$，$C^{+}=20.4439$、$C^{-}=2.8037$、$C_0=12.5120$。

Zepo 两期欧式看涨（ $S_0=80$，$X=62$，上行 15%／下行 13%，$R_f=4\%$／期）

$U=1.15,D=0.87,{\pi }_U=\frac{1.04-0.87}{1.15-0.87}=0.61,{\pi }_D=0.39$

时点	路径	股价	Call payoff／值
$t=0$	—	80.00	22.99
$t=1$	上	92.00	32.44
$t=1$	下	69.60	10.56
$t=2$	上上	105.80	43.80
$t=2$	上下／下上	80.00（精确 80.04）	18.00（精确 18.04）
$t=2$	下下	60.55	0

$C_1^{+}=\frac{0.61\times 43.80+0.39\times 18.00}{1.04}=32.44,C_1^{-}=\frac{0.61\times 18.00}{1.04}=10.56$

$C_0=\frac{0.61\times 32.44+0.39\times 10.56}{1.04}=22.99$

取整链条：不取整时 ${\pi }_U=0.607143$、中间节点 18.04，$C_0=22.88$。题给答案 22.99 与精确值相差 0.11，选项为 19.17、22.99、27.11，仍选 22.99。

29.5 美式期权与提前行权 American-Style Options

欧式期权仅限到期日行权；美式期权可在到期前任意时点行权。美式二叉树在每个节点取继续持有价值与立即行权价值中的较大者，再向前回溯。

提前行权

提前行权时，持有人拿到的只有内在价值（intrinsic value），放弃了时间价值（time value）。拿到的内在价值可以按 $R_f$ 再投资，但多数情况下这点利息小于放弃的时间价值，所以提前行权不划算。

例外来自深度实值的看跌期权：标的价格跌不到零以下，上行空间有限，时间价值被压得很薄，内在价值的利息可以超过时间价值。

结论按期权类型区分：

• 不付股利股票上的美式看涨 = 同条件欧式看涨（提前行权没有价值）；
• 美式看跌可能高于同条件欧式看跌，差额来自提前行权并对内在价值赚取利息的权利；
• 付股利股票上的美式看涨要逐节点检查：股票除息时价格下跌，在除息前行权可能划算。

两期看跌：欧式与美式（ $S_0=50$，$X=50$，$U=1.3$，$D=0.80$，$R_f=3\%$／期）

${\pi }_U=\frac{1.03-0.80}{1.3-0.80}=0.46,{\pi }_D=0.54$

时点	路径	股价	欧式 put	美式 put
$t=0$	—	50.00	4.95	5.24
$t=1$	上	65.00	0	0
$t=1$	下	40.00	9.44	10.00（行权）
$t=2$	上上	84.50	0	0
$t=2$	上下／下上	52.00	0	0
$t=2$	下下	32.00	18.00	18.00

欧式： $P^{-}=\frac{0.46\times 0+0.54\times 18}{1.03}=9.44,P_0=\frac{0.46\times 0+0.54\times 9.44}{1.03}=4.95$

美式：$t=1$ 下行节点的行权价值 $=\max (0,50-40)=10.00>9.44$，在该节点行权，用 10.00 往回折： $P_0=\frac{0.46\times 0+0.54\times 10.00}{1.03}=5.24$

提前行权溢价 $=5.24-4.95=0.29$。

根节点也要比较。$t=0$ 的行权价值 $=\max (0,50-50)=0<5.24$，今天不行权。本例的根节点不改变答案；债券期权例题中的可行权窗口会改变答案。

每个节点比较行权价值（内在价值）与继续持有价值（continuation / hold value，即后续节点回溯后的折现值）。上例在下行节点比较 10.00 与 9.44。

不付股利的美式看涨

输入沿用「两期欧式看涨」例题，用来检验美式期权在每个节点的行权选择。

逐节点比较行权价值与继续持有价值：

节点	行权价值 $\max (0,S-45)$	继续持有价值	取哪个
$t=1$ 上（$S=62.50$）	17.50	20.45	继续持有
$t=1$ 下（$S=40.00$）	0	2.80	继续持有
$t=0$（$S=50.00$）	5.00	12.51	继续持有

所有节点都应继续持有，因此美式看涨与欧式看涨的价值均为 12.51。对 $X=50$ 的看跌使用相同规则时，$t=1$ 下行节点应提前行权。

29.6 债券期权的二叉树 Options on Bonds

用利率树给债券期权定价分三步：

1. 用各节点的预测利率给债券在每个节点定价；
2. 在期权到期的各节点算期权的内在价值；
3. 回溯折现得到今天的期权价值。

利率树的上下行风险中性概率均为 0.5，不使用 ${\pi }_U=(1+R_f-D)/(U-D)$。折现时，各节点使用自身的一期远期利率。具体规则见「利率期权的二叉树估值」。

2 年期债券期权，标的为 3 年期 7% 年付息债，行权价 100

时点	路径	一期远期利率	债券价（除息）	欧式期权	美式期权
$t=0$	—	3.00%	106.00	0.80	2.12
$t=1$	上	5.99%	100.57	0.29	0.57（行权）
$t=1$	下	4.44%	103.80	1.35	3.80（行权）
$t=2$	上上	8.56%	98.56	0	—
$t=2$	上下／下上	6.34%	100.62	0.62	—
$t=2$	下下	4.70%	102.20	2.20	—

美式解法：$t=1$ 两个节点上，行权价值（$100.57-100=0.57$；$103.80-100=3.80$）都超过继续持有价值（0.29；1.35），故两处都行权：

$\text{American}=\frac{0.57\times 0.5+3.80\times 0.5}{1.03}=2.12$

复算

利率树可以复现表中各数值：

• $t=2$ 债券价（还剩一年，到期收 107）：$107/1.0856=98.563$、$107/1.0634=100.621$、$107/1.0470=102.197$ → 印出的 98.56 / 100.62 / 102.20 ✓
• $t=1$ 债券价（含下一期票息 7，两状态各 0.5）：$(105.56+107.62)/2/1.0599=100.568$、$(107.62+109.20)/2/1.0444=103.802$ → 印出的 100.57 / 103.80 ✓
• $t=0$：$(107.57+110.80)/2/1.03=106.004$ → 印出的 106.00 ✓
• 欧式期权：$0.31/1.0599=0.2925$、$1.41/1.0444=1.3501$、$0.8213/1.03=0.7973$ → 印出的 0.29 / 1.35 / 0.80 ✓

期权 payoff 使用除息（ex-coupon）债券价。票息只进入债券自身的回溯。债券与期权分别回溯，但使用同一套利率。

可行权窗口

题干规定 1 年后才能行权。若允许 $t=0$ 行权，行权价值为 $106.00-100=6.00$，会取代 2.12 成为期权价值。美式期权的回溯必须先确定可行权窗口；前一节的股票看跌在 $t=0$ 不值得行权，因此该限制未改变其答案。

29.7 对冲比率、复制组合与套利 Hedge Ratio & Arbitrage (LOS 29.c)

对冲比率（hedge ratio），也叫 delta，是每卖出（买入）一份期权需要买入（卖空）的标的股数：

$h_{\text{call}}=\frac{C^{+}-C^{-}}{S^{+}-S^{-}}{h}_{\text{put}}=\frac{P^{+}-P^{-}}{S^{+}-S^{-}}$

对冲比率的符号约定

	分子	符号	一期例题（$S^{+}=40$，$S^{-}=22.5$）
看涨，R29	$C^{+}-C^{-}$	正	$(10-0)/17.5=+0.5714$
看跌，R29	$P^{+}-P^{-}$	负	$(0-7.5)/17.5=-0.4286$
看跌，L1 页面	$p^d-p^u$（分子顺序相反）	正	$(7.5-0)/17.5=+0.4286$

两种约定不能混用。R29 的估值式 $P_0=h{S}_0+\frac{-h{S}^{-}+P^{-}}{1+R_f}$ 要求 $h<0$。代入 L1 的 $+0.4286$ 会得到 10.85；代入 $-0.4286$ 得 3.1642，与一期二叉树的精确值一致。

$h_{\text{call}}-h_{\text{put}}=0.5714-(-0.4286)=1$。无股利时，希腊字母一节也可写成 ${\text{delta}}_c-{\text{delta}}_p=1$。

套利方向：

• 期权在市场上高估 → 卖出期权 + 每份期权买入 $h$ 股；
• 期权在市场上低估 → 买入期权 + 每份期权卖空 $h$ 股。

复制组合的无套利定价式（两种写法数值相同，用哪个节点都行）：

$C_0=h{S}_0+\frac{-h{S}^{-}+C^{-}}{1+R_f}=h{S}_0+\frac{-h{S}^{+}+C^{+}}{1+R_f}$

$P_0=h{S}_0+\frac{-h{S}^{-}+P^{-}}{1+R_f}=h{S}_0+\frac{-h{S}^{+}+P^{+}}{1+R_f}$

看涨的复制组合是对 $h$ 股标的的杠杆化持仓，即借钱买股。看跌的复制组合是多头无风险债券加空头 $|h|$ 股。期权市价高于复制组合成本时，卖出期权并买入复制组合。

套利利润（一期 $X=30$ 看涨理论值 5.14，市价 6.50，交易 100 份）

$h=\frac{10-0}{40-22.50}=0.5714\text{股／份},\text{买入股数}=100\times 0.5714=57.14$

期权高估 → 卖出 100 份看涨 + 买入 57.14 股。

$\text{净成本}=57.14\times 30-100\times 6.50=1,064$

借入 1,064（$R_f=7\%$），一年后还 $1,064\times 1.07=1,138.48$。到期两种状态下组合价值相同：

状态	股票	空头看涨	组合价值
上行 $S=40$	$57.14\times 40=2,285.60$	$-100\times 10=-1,000$	1,286
下行 $S=22.50$	$57.14\times 22.50=1,285.65$	$0$	1,286

$\text{一年后利润}=1,286-1,138.48=147.52,\text{现值}=\frac{147.52}{1.07}=137.87$

复算：把 $h$ 保留到 $4/7=0.571429$、成本保留为 1,064.29，利润现值为 137.32。按每份套利 $6.50-5.1268=1.3732$ 乘以 100，也得到 137.32。题给的 137.87 来自把 $h$ 截到 0.5714、把成本截到 1,064；方法与方向不变。

用复制组合回算理论价：$C_0=0.5714\times 30+\frac{-0.5714\times 22.50+0}{1.07}=5.1266$，精确到分为 5.13。期望法得到 5.14，差异来自取整。

乘以或除以对冲比率

算法取决于已知的是期权份数还是股数：

题目给什么	要求什么	算法	出处
期权张数（套利，本节）	需要多少股	股数 $=$ 期权数 $\times h$	1,000 份、$h=0.35$ → 买 350 股
股数（delta 对冲）	需要多少张期权	期权数 $=$ 股数 $÷h$	60,000 股、$h=0.60$ → 卖 100,000 份

若期权高估且持有 1,000 份看涨、$h=0.35$，套利头寸为卖出 1,000 份看涨并买入 350 股。$1,000/0.35=2,857$ 使用了错误方向。

29.8 利率期权的二叉树估值 Interest Rate Options on a Lattice (LOS 29.e)

二叉利率树（binomial interest rate tree）：用利率波动率生成未来利率的可能路径。

时点	状态	节点上的利率
今天	—	$i_0$
1 年	上	$i_{1,U}$
1 年	下	$i_{1,D}$
2 年	上上	$i_{2,UU}$
2 年	上下／下上	$i_{2,UD}$
2 年	下下	$i_{2,DD}$

与股票树的差异

1. 每个节点上的利率是一期远期利率（one-period forward rate）。根节点之后，同一期可能有多个一期远期利率，例如 $i_{1,U}$ 与 $i_{1,D}$。
2. 上下行风险中性概率均为 0.5。利率树按这个条件标定，不使用 ${\pi }_U=(1+R_f-D)/(U-D)$。0.5 不代表市场认为利率涨跌概率各半。
3. 回溯时使用各节点自身的一期远期利率，折现率并非常数 $R_f$。

给定的利率树可直接用于估值，无须自行构建利率树。

利率期权的 payoff：

$\text{call payoff}=NP\times \max (0,\text{reference rate}-\text{exercise rate})$

$\text{put payoff}=NP\times \max (0,\text{exercise rate}-\text{reference rate})$

利率看涨期权在利率上升时增值；利率看跌期权在利率下降时增值。

看跌期权的括号内为 $\text{exercise rate}-\text{reference rate}$，因此参考利率下降时增值。

两期欧式利率看涨（行权利率 5.50%，名义本金 NP = USD 1,000,000， $T=2$ 现金交割）

时点	节点	利率	期权值（USD）
今天	$C$	3.0000%	19,882
$t=1$	$C^{+}$	5.7883%	32,784
$t=1$	$C^{-}$	3.8800%	8,173
$t=2$	$C^{++}$	10.7383%	52,383
$t=2$	$C^{+-}$	7.1981%	16,981
$t=2$	$C^{--}$	4.8250%	0

到期 payoff（只有 $C^{++}$、$C^{+-}$ 在钱内，因为 $4.8250\%<5.50\%$）：

$C^{++}=(0.107383-0.055)\times 1,000,000=52,383$ $C^{+-}=(0.071981-0.055)\times 1,000,000=16,981$

回溯，注意每个节点用自己的利率折现：

$C^{+}=\frac{0.5\times 52,383+0.5\times 16,981}{1.057883}=32,784$ $C^{-}=\frac{0.5\times 16,981+0.5\times 0}{1.0388}=8,173$ $C_0=\frac{0.5\times 32,784+0.5\times 8,173}{1.03}=19,882$

复算：不取整时 $C_0=19,882.39$。

表中 $C$、$C^{+}$、$C^{++}$ 所在的 Rate 列记录利率，期权价值列记录相应节点的期权值。

结算时点的简化假设

基于 MRR 的合约在期初确定利率、期末支付（settled in arrears）。本例假设期权在到期日现金交割（cash settle at maturity），因此直接在 $t=2$ 计算 payoff。真实合约的支付会再推迟一期。题目给出「assume options cash settle at time $T$」时采用这一简化。

29.9 Black-Scholes-Merton 的假设 BSM Assumptions (LOS 29.f)

BSM 在连续时间里定价，但立足的仍是二叉树那套无套利条件：二叉树里对冲组合在下一期无风险，BSM 则用一个”瞬时（instantaneously）无风险”的组合去解出期权价格。

六条假设

1. 标的价格服从几何布朗运动（geometric Brownian motion）；连续复利收益率服从正态分布；价格变化是连续的，没有跳跃。
2. （连续复利的）无风险利率恒定且已知；借贷都按无风险利率。
3. 标的收益的波动率恒定且已知；价格平滑变化、不突然跳跃。
4. 市场无摩擦（frictionless）：无税、无交易成本、卖空及卖空所得的使用无限制；可连续交易；市场无套利机会。
5. 标的资产的（连续复利）收益率（yield）恒定。
6. 期权是欧式（仅在到期日行权）。

第 5 条要求收益率恒定，允许收益率不为零。「标的资产不产生现金流」不属于 BSM 假设。股利股票与货币期权一节用非零 $\delta$ 调整模型。

假设与结论

假设	它撑起的结论	放松之后
1、3 无跳跃、连续价格	动态 delta 对冲可以持续保持无风险	出现跳跃会产生 gamma 风险
3 波动率恒定	同一标的、不同行权价的期权应有同一个隐含波动率	不同行权价的隐含波动率可能不同，违背恒定波动率假设
4 无摩擦	复制组合的套利交易可以零成本执行	交易成本会提高动态对冲成本
6 欧式	BSM 的闭式解成立	BSM 不处理美式提前行权；美式看跌使用格子模型
5 收益率恒定	用 $e^{-\delta T}$ 一次性调整	本 reading 未展开离散、不规则股利的处理

29.10 BSM 公式与杠杆化持股 (LOS 29.g)

$C_0=S_{0}N(d_1)-e^{-rT}XN(d_2)$

$P_0=e^{-rT}XN(-d_2)-S_{0}N(-d_1)$

$d_1=\frac{\ln (S_0/X)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$

其中：$T$ = 到期时间；$r$ = 连续复利无风险利率；$S_0$ = 标的现价；$X$ = 行权价；$\sigma$ = 年化的标的收益波动率；$N(x)$ = 标准正态累积分布函数；$N(-x)=1-N(x)$。

三条解读

1）BSM 值 = 到期期望收益的现值。 $C_0=\mathrm{PV}\left[S_0{e}^{rT}N(d_1)-XN(d_2)\right],P_0=\mathrm{PV}\left[XN(-d_2)-S_0{e}^{rT}N(-d_1)\right]$ （把 $\mathrm{PV}[\cdot ]=e^{-rT}\times [\cdot ]$ 代回去，就还原成上面的闭式，可自查。）

2）看涨 = 杠杆化的持股。 买入 $N(d_1)$ 单位标的，其中 $e^{-rT}XN(d_2)$ 由借款（等价于空头债券）提供。 看跌的复制组合 = 多头 $N(-d_2)$ 份债券 + 空头 $N(-d_1)$ 单位标的。

3）$N(d_2)$ 是「看涨到期时在钱内」的风险中性概率；$N(-d_2)=1-N(d_2)$ 是看跌到期时在钱内的风险中性概率。

第 3 条与二叉树中的 ${\pi }_U$ 都是风险中性概率，不表示真实世界中期权被行权的概率。

复制组合与套利（XZ 股价 50， $\sigma =25\%$，$r=3\%$ 连续复利，$X=45$，$T=0.5$；$N(d_1)=0.779$，$N(d_2)=0.723$；市价：看涨 7.00、看跌 1.00）

看涨的复制组合：多 0.779 股 $=0.779\times 50=38.95$；借入 $45\times e^{-0.03\times 0.5}\times 0.723=32.05$。 $\text{净成本}=38.95-32.05=6.90$ 市价 7.00 高于 6.90 → 卖出看涨、买入复制组合，每份套利 0.10。

看跌的复制组合：$N(-d_1)=1-0.779=0.221$，$N(-d_2)=1-0.723=0.277$。 多头债券 $=45\times e^{-0.015}\times 0.277=12.28$；空 0.221 股，得款 $50\times 0.221=11.05$。 $\text{净成本}=12.28-11.05=1.23$ 市价 1.00 低于 1.23 → 买入看跌、卖出复制组合，每份套利 0.23。

两个复制组合的成本满足连续版平价 $C_0-P_0=S_0-e^{-rT}X$： $6.90-1.23=5.67,50-45e^{-0.015}=50-44.33=5.67✓$ 完全吻合，说明 $N(d_1)=0.779$、$N(d_2)=0.723$ 这两个转录值可靠（独立算 $d_1=0.7693$、$d_2=0.5925$，得 $N=0.7791$、$N=0.7232$）。

套利方向

卖出价格较高的一边，买入价格较低的一边。上例看涨市价高于模型值，应卖出期权并买入复制组合；看跌市价低于模型值，应买入期权并卖出复制组合。

29.11 股利股票与货币期权 Dividends & Currency Options (LOS 29.h)

付股利股票：用小写 $\delta$ 表示连续复利股利率：

$C_0=S_0{e}^{-\delta T}N(d_1)-e^{-rT}XN(d_2),P_0=e^{-rT}XN(-d_2)-S_0{e}^{-\delta T}N(-d_1)$

$d_1=\frac{\ln (S_0/X)+\left(r-\delta +\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$

$S_0{e}^{-\delta T}$ 的含义是扣掉期权存续期内预期股利现值之后的股价。注意 $\delta$ 同时进入两个地方：前置的 $e^{-\delta T}$ 与 $d_1$ 分子里的 $(r-\delta )$，只改一处是常见错法。

平价式也要改：

$P_0+S_0{e}^{-\delta T}=C_0+e^{-rT}X$

股利的方向

期权持有人拿不到股利。因此，其他条件相同：股利降低看涨的价值，抬高看跌的价值。所以付股利股票的看涨 < 不付股利股票的看涨；付股利股票的看跌 > 不付股利股票的看跌。

用平价求看跌、用股利方向选看涨

ABC：$S=60$，$X=60$，$T=1$，$\sigma =10\%$，$r=5\%$ 连续复利，不付股利，看涨值 4.09。 $P_0=C_0-S_0+X{e}^{-rT}=4.09-60+60e^{-0.05}=4.09-60+57.07=1.16$

Chefron：与 ABC 各方面相同，但连续股利率 $\delta =1.4\%$，问看涨值。 Chefron 支付股利，其看涨价值低于 4.09，选项中只有 3.51 符合。用完整 BSM 复算：$d_1=(0+(0.05-0.014+0.005))/0.10=0.41$，$d_2=0.31$， $C_0=60e^{-0.014}N(0.41)-60e^{-0.05}N(0.31)=38.996-35.484=3.512$ 与选项 3.51 吻合。同法复算 ABC 看涨得到 4.083，题给 4.09，差异来自 $N(\cdot )$ 的查表精度。

货币期权：标的换成即期汇率。期权价值拆成一个债券部分和一个外汇部分：

$C_0=S_0{e}^{-r(B)T}N(d_1)-e^{-r(P)T}XN(d_2)$

$P_0=e^{-r(P)T}XN(-d_2)-S_0{e}^{-r(B)T}N(-d_1)$

其中 $r(P)$ = 价格货币（price currency，即本币） 的连续复利利率；$r(B)$ = 基础货币（base currency，即外币） 的连续复利利率。

两个利率的归属

• 即期汇率 $S_0$ 用基础货币（外币）利率 $r(B)$ 贴现。持有外币存款赚取的利息相当于股票的股利率 $\delta$。
• 行权汇率 $X$ 用价格货币（本币）利率 $r(P)$ 贴现，这一项就是”债券部分” $e^{-r(P)T}X$。

对照记：股票版里 $S_0$ 前面挂 $e^{-\delta T}$、$X$ 前面挂 $e^{-rT}$；货币版把 $\delta$ 换成 $r(B)$、把 $r$ 换成 $r(P)$，结构一模一样。

29.12 Black 模型与期货期权 The Black Model (LOS 29.i)

忽略期货的每日盯市特征后，Black 模型可用于给远期与期货上的欧式期权定价：

$C_0=e^{-R_f^{c}T}\left[F_{T}N(d_1)-XN(d_2)\right]$

$d_1=\frac{\ln (F_T/X)+\left(\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$

其中 $F_T$ = 期货价格；$\sigma$ = 期货收益的标准差。

Black 与 BSM

Black 模型相当于在 BSM 中把 $S_0$ 换成 $e^{-R_f^{c}T}{F}_T$。因此 $d_1$ 的分子没有 $r$ 项，利率已包含在这项替换中。

三条解读与 BSM 的杠杆化持股解读一一对应：

• 期货看涨 = 多头期货部位（期货价现值 $\times N(d_1)$）+ 空头债券（行权价现值 $\times N(d_2)$）;
• 期货看跌 = 多头债券 + 空头期货部位；
• 看涨也可读作「期货价（经 $N(d_1)$ 调整）与行权价（经 $N(d_2)$ 调整）之差的现值」。

期货看跌

本 reading 未给出期货看跌的闭式，只提供文字描述。按该描述得到的对称形式为： $P_0=e^{-R_f^{c}T}\left[XN(-d_2)-F_{T}N(-d_1)\right]$

该式用于对照前述文字关系。

29.13 Black 模型下的利率期权与互换期权 (LOS 29.j)

利率期权（FRA 上的期权）

利率期权是远期利率上的期权（options on FRAs）。FRA 上的看涨在利率上升时获利，看跌在利率下降时获利。

$C_0=(AP)e^{-r(\text{actual}/365)}\left[{\mathrm{FRA}}_{M\times N}N(d_1)-XN(d_2)\right]\times NP$

其中 $AP$ = 应计期（accrual period）$=\text{actual}/365$；$NP$ = FRA 的名义本金。一份到期日在 $M$ 个月后、行权利率为 $X$ 的 $(M\times N)$ FRA 看涨，其标的是一个 $(N-M)$ 个月的远期利率。

两个 actual/365

式中的两个 $\text{actual}/365$ 对应不同期间。$AP$ 是标的利率覆盖的 $N-M$ 个月，指数中的时间是期权到期前的 $M$ 个月。FRA 本身通常采用 30/360，FRA 期权采用 actual/365。

利率衍生品的等价关系按行权利率区分：

#	组合	等价于	关键条件
1	多头利率看涨 + 空头利率看跌	多头 FRA（收浮动、付固定）	行权利率 = 当前 FRA 利率
2	空头利率看涨 + 多头利率看跌	空头 FRA（付浮动、收固定）	同上
3	一组到期日不同、行权价相同的利率看涨	利率上限 cap（每份看涨称 caplet）	—
4	一组到期日不同、行权价相同的利率看跌	利率下限 floor（每份看跌称 floorlet）	—
5	多头 cap + 空头 floor	付固定互换 payer swap	cap 与 floor 行权利率相同
6	空头 cap + 多头 floor	收固定互换 receiver swap	同上
7	—	cap 价值 = floor 价值	行权利率 = 市场互换固定利率

浮动利率贷款用多头 cap 对冲；浮动利率债券多头用 floor 对冲。

互换期权 Swaptions

swaption 是未来进入一笔利率互换的权利。

• payer swaption（付固定方互换期权）：有权以约定固定利率作为付固定方入场。利率上升时更有价值；到期时市场利率 > 行权利率才行权。
• receiver swaption（收固定方互换期权）：有权作为收固定方（即付浮动方）入场。利率下降时更有价值；到期时市场利率 < 行权利率才行权。

swaption 相当于一份年金上的期权：标的互换的每个结算日各有一笔现金流，金额等于行权利率与市场互换固定利率之差。令 $PVA$ 为该年金的现值：

$\text{pay}=(AP)PVA\left[SFRN(d_1)-XN(d_2)\right]NP$

$REC=(AP)PVA\left[XN(-d_2)-SFRN(-d_1)\right]NP$

$d_1=\frac{\ln (SFR/X)+\left(\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$

其中 $AP=\frac{1}{\text{每年结算次数}}$；$SFR$ = 当前市场互换固定利率；$X$ = 行权利率；$NP$ = 标的互换的名义本金。$\text{pay}=PV[E(\text{payoff})]$，即期望收益的现值。

互换期权的等价关系：

• 收固定互换 = 多头 receiver swaption + 空头 payer swaption（行权利率相同）；
• 付固定互换 = 多头 payer swaption + 空头 receiver swaption（行权利率相同）；
• 若行权利率使 payer 与 receiver 价值相等，则该行权利率 = 市场远期互换固定利率；
• 多头可赎回债券（callable bond） = 多头无期权债券 + 空头 receiver swaption。

两种利率期权工具

出现在	LOS	工具	概率／折现
利率期权的二叉树估值	29.e	二叉利率树逐节点回溯	上下行概率各 0.5；用节点自己的一期远期利率折现
本节	29.j	Black 模型闭式	用 $N(d_1)$、$N(d_2)$；按到期时间连续折现

两条 LOS 分别考查两种方法。题目给出利率树时逐节点回溯；给出 FRA 利率、波动率和 $N(d)$ 时使用 Black 模型。

29.14 期权希腊字母 The Greeks (LOS 29.k)

BSM 有五个输入：标的价格、行权价、波动率、到期时间、无风险利率。除行权价之外，每个输入与期权价格的关系各由一个希腊字母刻画（行权价在合约存续期内不变，所以没有对应的希腊字母，但它对价值的方向仍是考点）。

欧式期权价值对输入的敏感度

希腊字母	输入	Calls	Puts
Delta	标的价格 $S$	正相关；$\text{delta}>0$	负相关；$\text{delta}<0$
Gamma	Delta（对 $S$ 的二阶敏感度）	正；$\text{gamma}>0$	正；$\text{gamma}>0$
Vega	波动率 $\sigma$	正相关；$\text{vega}>0$	正相关；$\text{vega}>0$
Rho	无风险利率 $r$	正相关；$\rho >0$	负相关；$\rho <0$
Theta	到期时间 $T$	临近到期时间价值 $\to 0$；$\theta <0$	临近到期时间价值 $\to 0$；$\theta <0$（见下方例外）
—	行权价 $X$	负相关	正相关

上表适用于欧式期权。深度实值且临近到期的欧式看跌有 theta 例外，其价值可能随时间流逝而上升。

标的价格 $S$、无风险利率 $r$ 和行权价 $X$ 对看涨与看跌的影响方向相反；波动率 $\sigma$ 对两者的影响方向相同，vega 均为正。在 $S$、$r$、$X$、$\sigma$ 四项中，只有 $\sigma$ 对看涨与看跌同向。

措辞上留一格：常见的口诀「波动率是唯一同向的因素」在那道三选一里是对的，但对照上表可见 theta 对看涨与看跌也同为负（欧式看跌有深度实值的例外）。所以更稳的说法是「在 $S$、$r$、$X$、$\sigma$ 四者中，只有 $\sigma$ 同向」。

Delta

delta 就是「对冲比率、复制组合与套利」一节的对冲比率。付股利股票上：

${\text{delta}}_c=e^{-\delta T}N(d_1),{\text{delta}}_p=-e^{-\delta T}N(-d_1)$

线性近似（只对小幅变动准确，$\Delta S$ 越大越不准）：

$\Delta C\approx e^{-\delta T}N(d_1)\times \Delta S,\Delta P\approx -e^{-\delta T}N(-d_1)\times \Delta S$

Delta 近似

(1) 已知 $e^{-\delta T}N(d_1)=0.58$，股价涨 0.75：$\Delta C\approx 0.58\times 0.75=0.435$。

(2) 看跌 delta $=-0.43$，股价由 40 涨到 44（$\Delta S=+4$）：$\Delta P\approx -0.43\times 4=-1.72$，即价值下降约 1.72 USD。Delta 近似的结果是金额；4.3% 是把金额误读成比例。

(3) 无股利时 $N(d_1)=0.42$，$\Delta S=-1$：$\Delta C\approx 0.42\times (-1)=-0.42$；$\Delta P\approx (0.42-1)\times (-1)=+0.58$。看涨价值下降 0.42，看跌价值上升 0.58。这里使用 ${\text{delta}}_p={\text{delta}}_c-1$，等价于 $h_{\text{call}}-h_{\text{put}}=1$。

Delta 的取值范围与两条移动规律

随标的价格上升：

• 看涨 delta 从 0 升到 $e^{-\delta T}$（无股利时 0 → 1）；深度虚值时接近 0，深度实值时接近 1；
• 看跌 delta 从 $-e^{-\delta T}$ 升到 0（无股利时 −1 → 0），即绝对值变小。

随时间流逝（假定标的价格不变），方向取决于虚实值：

期权	状态	delta 的移动方向
看涨	虚值（$S<X$）	趋向 0
看涨	实值（$S>X$）	趋向 $e^{-\delta T}$
看跌	虚值（$S>X$）	趋向 0
看跌	实值（$S<X$）	趋向 $-e^{-\delta T}$

实值看跌的 delta 趋向 $-e^{-\delta T}$，负号不能省略。

Gamma

gamma 衡量 delta 随标的价格变化的速度，刻画的是”期权价值 – 标的价格”曲线的曲率。

• 多头看涨与多头看跌的 gamma 都为正。例：gamma = 0.04 表示标的涨 1（美元），看涨的 delta 上升 0.04。
• 平值时 gamma 最大；深度实值或深度虚值时 gamma 很小。gamma 随标的价格和到期时间变化。
• 想降低（提高）组合的整体 gamma，就卖出（买入）期权。
• 同一标的、同一行权价、同一到期日的看涨与看跌，gamma 相等。

加入 gamma 的二阶近似（作用与债券里的 凸性 修正完全对应）：

$\Delta C\approx \text{call delta}\times \Delta S+\frac{1}{2}\text{gamma}\times \Delta S^2$

$\Delta P\approx \text{put delta}\times \Delta S+\frac{1}{2}\text{gamma}\times \Delta S^2$

平值看跌的 delta 与 gamma

• delta：看跌 delta 为负，股价上升使它向 0 靠近（负得更少），即上升；
• gamma：期权原本平值、gamma 处在最大值；股价涨到 50 后变成虚值，gamma 下降。

答案为 delta 上升、gamma 下降。这里的 delta 上升指代数值从 −0.5 变为 −0.2，绝对值反而下降。

Vega、Rho、Theta

• Vega：对波动率的敏感度。看涨与看跌的 vega 都为正，波动率上升会提高两者价值。期权越接近平值，vega 越大。
• Rho：对无风险利率的敏感度。看涨的 rho 为正、看跌的 rho 为负。从 $C_0=S_{0}N(d_1)-X{e}^{-R_f^{c}T}N(d_2)$ 直接看：$r$ 上升 → 第二项（行权价现值）变小 → 看涨价值上升。欧式期权价格对 $r$ 变化其实不太敏感，所以 rho 是不太重要的敏感度指标。
• Theta：对时间流逝的敏感度，即时间衰减（time decay）。theta 小于零：其他条件不变，随着时间推移、期权临近到期，期权价值下降。到期时时间价值归零。

Theta 与期限

时间与期权价值有两种比较方式：

1. 期权价值与「到期时间长短」正相关：其他条件相同，期限更短的期权价值更低。（这是 L1 因素表的口径。）
2. 期权价值与「时间的流逝」负相关：其他条件相同，时间过去、期权靠近到期，价值衰减。

theta 描述第 2 种变化。第 1 种比较两份不同期限的期权，第 2 种跟踪同一份期权随日历推移的变化。

深度实值且临近到期的欧式看跌可能随时间流逝而升值，因为它更快收到 $X$。本 reading 未讨论美式期权的 theta。

29.15 Delta 对冲与 Gamma 风险 Delta Hedging & Gamma Risk (LOS 29.l, 29.m)

Delta 中性组合把多头股票与空头看涨或多头看跌配在一起，使标的小幅变动时的组合价值近似不变。

$\text{需卖出的看涨份数}=\frac{\text{需对冲的股数}}{\text{看涨的 delta}}$

$\text{需买入的看跌份数}=-\frac{\text{需对冲的股数}}{\text{看跌的 delta}}$

看跌那条式子前面的负号是因为看跌 delta 为负，两个负号相消后份数为正。

Arthurall 的 delta 对冲

$\text{份数}=\frac{60,000}{0.60}=100,000\text{份}=1,000\text{张合约}$ 持有股票多头，所以要卖出（short）这些看涨期权。

股价瞬时上涨 1（美元）时的效果：

部位	变动
股票（多 60,000 股）	$60,000\times 1=+60,000$
看涨（空 100,000 份，每份 −0.60）	$100,000\times (-0.60)=-60,000$
组合合计	0

乘除方向

给股数、求期权份数时除以 delta；给期权份数、求股数时乘以 $h$。

Delta 中性只对标的极小幅变动有效。标的价格变化会改变看涨 delta，需要持续再平衡，因而产生交易成本。

Gamma 风险（LOS 29.m）

若 BSM 的假设成立（价格连续变动、不跳跃），就不存在 gamma 风险。

在此语境下，gamma 衡量的是：当对冲没有随标的价格变动而及时再平衡时，这个动态对冲会失效到什么程度。gamma 风险 = 标的价格突然「跳跃」、把一个本已 delta 中性的组合打成未对冲状态的风险。

具体到”多股票 + 空看涨”这个对冲：若股价突然下跌，股票多头的损失与看涨空头的收益不再相等，这个缺口就是该对冲的 gamma 风险。

股票的 delta 恒为 1，所以股票的 gamma 为 0；于是”多股票 + 空看涨”的组合净 gamma 为负（正 gamma 的期权被卖出了）。

29.16 隐含波动率 Implied Volatility (LOS 29.n)

隐含波动率（implied volatility）是由期权市场价格反推的连续复利标的收益率标准差。

BSM 的五个输入里有四个可观测：股价、行权价、无风险利率、到期时间。把这四个代入模型，反解出让模型值等于市场价格的那个波动率，就是隐含波动率。未来波动率不可直接观测，实务上也常用历史波动率来估计。

隐含波动率没有闭式解

波动率在 BSM 定价式中没有解析解，只能迭代求解。隐含波动率需要期权市场价格；历史波动率才使用历史收益序列。

隐含波动率有三种用途：

1. 观测市场情绪：同一标的、不同行权价的期权可能反推出不同的隐含波动率，这一现象违背 BSM 的恒定波动率假设。
2. 报价机制：用隐含波动率报价，使不同行权价、不同到期日的期权可以用同一个计量单位比较。
3. 交易判断：相对于交易者自己的波动率判断，期权高估对应隐含波动率偏高。

用隐含波动率判断交易方向

市场隐含波动率为 22%，交易者认为未来波动率约为 25%。她的判断高于市场隐含水平，因此期权被低估，应买入看涨。

自己的波动率预期高于隐含波动率时买入期权，低于隐含波动率时卖出期权。看涨与看跌的 vega 都为正，因此两类期权的判断方向相同。

29.17 item set 实操

item set 通常给出一棵树，或一组 $S$、$X$、$\sigma$、$r$、$T$、$N(d_1)$、$N(d_2)$。处理顺序如下：

graph TD
  S1["1 标的是什么？"] -->|"股票 / 汇率"| S2["离散还是连续？"]
  S1 -->|"利率 / FRA"| R1["给利率树：逐节点回溯<br/>给 FRA 与 N d：Black 模型"]
  S1 -->|"期货 / 远期"| F1["Black 模型<br/>d1 分子里没有 r"]
  S2 -->|"给了 U、D、每期 Rf"| B1["二叉树：先算 π"]
  S2 -->|"给了 σ、连续 r、N d"| K1["BSM"]
  B1 --> B2["2 建股价树<br/>上下=下上，终端 n+1 个节点"]
  B2 --> B3["3 终端 payoff"]
  B3 --> B4{"欧式还是美式？"}
  B4 -->|"欧式"| B5["逐期回溯：加权 + 折现一期"]
  B4 -->|"美式"| B6["每节点取 max 行权价值, 继续持有价值<br/>含 t=0，且看可行权窗口"]
  B5 --> B7["4 用看跌看涨平价回代"]
  B6 --> B7
  K1 --> K2["2 认清有无 δ<br/>δ 同时进 e^-δT 与 d1"]
  K2 --> K3["3 复制组合 = N d1 股 − 借款"]
  K3 --> K4["4 比市价定套利方向：贵的卖、便宜的买"]
  K4 --> K5["5 用 Greeks 方向表判断敏感度"]

每一步最常见的错法

步骤	典型错误	对照
算 $\pi$	使用题目给的真实上涨概率；或把 $R_f$ 当成年化连续利率	二叉树框架与风险中性概率
建树	认为中间节点总会回到 $S_0$，实际仅在 $U\times D=1$ 时成立	两期二叉树
回溯	把 $t=2$ 的期望一次折现两期，导致美式期权漏掉提前行权	两期二叉树、美式期权与提前行权
美式判断	比较行权价值与内在价值；漏掉 $t=0$；忽略可行权窗口	美式期权与债券期权
对冲比率	对看跌使用 L1 的正号约定；或混淆乘以和除以 $h$	对冲比率、Delta 对冲
利率树	套用 $\pi =(1+R_f-D)/(U-D)$；使用常数利率折现	利率期权的二叉树估值
利率看跌	写成 $\max (0,\text{reference}-\text{exercise})$	利率期权的二叉树估值
BSM 股利	只把 $\delta$ 放入 $e^{-\delta T}$，漏掉 $d_1$ 分子的 $(r-\delta )$	股利股票与货币期权
货币期权	对调 $r(B)$ 与 $r(P)$	股利股票与货币期权
Black	在 $d_1$ 分子保留 $r$	Black 模型与期货期权
Greeks	把 delta 上升理解为绝对值上升；混淆 theta 与期限比较	期权希腊字母
隐含波动率	使用历史收益序列；或认为交易判断只适用于看涨	隐含波动率

小结

1. ${\pi }_U=(1+R_f-D)/(U-D)$ 里的 $R_f$ 是每期、周期复利；BSM／Black 用的是连续复利年利率
2. ${\pi }_U$、${\pi }_D$ 与 $N(d_2)$ 都是风险中性概率；题目给的真实涨跌概率不进入计算
3. 利率树上下行概率各取 0.5，且逐节点用该节点自己的一期远期利率折现
4. 重组指上-下与下-上落到同一节点，不代表中间节点回到 $S_0$
5. 美式的每个节点取 max(行权价值, 继续持有价值)，含 $t=0$；先读清可行权窗口
6. 不付股利股票上的美式看涨 = 欧式看涨；美式看跌可能高于欧式看跌；付股利股票的美式看涨可能在除息前行权
7. 看涨 $h=(C^{+}-C^{-})/(S^{+}-S^{-})>0$，看跌 $h=(P^{+}-P^{-})/(S^{+}-S^{-})<0$；$h_{\text{call}}-h_{\text{put}}=1$
8. 期权高估 → 卖期权 + 买 $h$ 股；给期权张数就乘 $h$，给股数就除以 delta
9. 利率看涨 payoff $=NP\times \max (0,\text{参考利率}-\text{行权利率})$；看跌使用 $\max (0,\text{行权利率}-\text{参考利率})$
10. BSM 假设「收益率恒定」而非「标的无现金流」；期权为欧式，故 BSM 不给提前行权定价
11. 看涨 = $N(d_1)$ 股的杠杆化持仓，借款 $e^{-rT}XN(d_2)$；看跌 = 多 $N(-d_2)$ 债券 + 空 $N(-d_1)$ 股
12. 股利 $\delta$ 同时进入 $e^{-\delta T}$ 与 $d_1$ 分子的 $(r-\delta )$；货币期权把 $\delta$ 换成 $r(B)$、$r$ 换成 $r(P)$
13. Black = BSM 把 $S_0$ 换成 $e^{-R_f^{c}T}{F}_T$；其 $d_1$ 分子里没有 $r$
14. payer swaption 随利率上升增值，receiver swaption 随利率下降增值；可赎回债券 = 无期权债券 + 空头 receiver swaption
15. 在 $S$、$r$、$X$、$\sigma$ 四者中，只有波动率对欧式看涨与看跌同向（vega 均为正）；另三者方向相反（theta 对两者同为负，见第 16 条）
16. theta $<0$ 说的是时间流逝；「期限越长价值越高」说的是两份不同期限的期权，两句都对；深度实值且临近到期的欧式看跌是唯一例外
17. gamma 在平值时最大，多头看涨与多头看跌的 gamma 均为正；股票 gamma 为 0，故”多股票 + 空看涨”净 gamma 为负
18. 隐含波动率需要市场价格、只能迭代求解；不同行权价的隐含波动率不同，正是对 BSM 恒定波动率假设的违背