组合管理 Portfolio Management

Level II | Readings: R34-R39

R34: 经济与投资市场 Economics and Investment Markets

Reading 34 | Modules 34.1–34.2 | LOS 34.a–34.k

graph LR
  A(("经济变量")) --> B["无违约利率曲线"]
  A --> C["预期现金流的金额与时点"]
  A --> D["风险溢价"]
  B --> E["债券与期限结构"]
  C --> F["盈利与估值倍数"]
  D --> G["信用、权益与地产"]
  H["商业周期"] --> B
  H --> C
  H --> D

34.1 经济因素影响市场价值的三条路径 — LOS 34.a

资产价值等于预期未来现金流按风险调整折现率折现后的现值：

$$V_0=\sum _{t=1}^T\frac{E(C{F}_t)}{(1+r_t{)}^t}$$

经济因素只有通过下列至少一条路径，才会改变市场价值：

1. 改变各期限的无违约利率；
2. 改变预期现金流的金额或时点；
3. 改变风险溢价。

折现率可分解为：

$$r=R+\pi +RP$$

其中 $R$ 为实际无风险利率，$\pi$ 为预期通胀，$RP$ 为补偿现金流不确定性的风险溢价。现金流越不确定，所需风险溢价越高。风险溢价既因资产和资产类别而异，也会随投资者对风险的看法变化。

若某家公司股价下跌而行业指数没有同步下跌，实际无风险利率或预期通胀的市场共同变化无法解释这种分化；公司自身风险溢价上升可以解释。

34.2 预期与市场价格 — LOS 34.b

市场价格反映当前预期。新信息要改变价格，必须让市场修订现金流预期或折现率。

同一条消息可能带来相反的价格反应。公司报告盈利增长 12%，若市场此前预期高于 12%，股价仍可能下跌；若此前预期低于 12%，这条消息通常提高估值。因此，已被价格纳入的预期水平是判断消息利多或利空的基准。

34.3 与 Level I 的衔接

Level I 已把名义必要收益率分为实际无风险利率、通胀溢价、违约风险溢价、流动性溢价与期限溢价，并把实际无风险利率解释为当前消费与未来消费之间的时间偏好。商业周期、收益率曲线和信用利差也已介绍周期方向。

本 reading 把这些概念统一到跨期边际替代率，并进一步说明：

• GDP 增长及其波动如何影响平均实际短期利率；
• 通胀不确定性溢价如何进入长期利率与盈亏平衡通胀率；
• 资产的消费对冲属性如何决定信用、权益和商业地产风险溢价；
• 周期如何同时作用于盈利预期、估值倍数和商业地产价值。

34.4 跨期替代与实际无风险利率 — LOS 34.c

无通胀、无违约风险的债券仍需补偿投资者放弃当前消费。跨期边际替代率（inter-temporal rate of substitution）表示未来消费一单位的边际效用相对于当前消费一单位的边际效用：

$$m_t=\frac{\text{时点 }t\text{ 消费一单位的边际效用}}{\text{当前消费一单位的边际效用}}=\frac{u_t}{u_0}$$

给定消费数量，投资者偏好当前消费，故 $u_0>u_t$、$m_t<1$。一只时点 1 支付 1、零息、通胀指数化且无违约风险的债券，其当前价格为：

$$P_0=E(m_1)$$

实际无风险收益率为：

$$R=\frac{1-P_0}{P_0}=\frac{1}{E(m_1)}-1$$

投资者越重视当前消费，相对于未来消费的跨期替代率越低，实际利率越高。

边际效用随财富增加而下降。经济收缩、收入稀缺时，一单位消费的边际效用较高。若投资者预期未来经济改善、收入提高，未来消费的边际效用下降；他们会增加当前消费、减少储蓄。预期经济恶化时，投资者倾向减少当前消费并增加储蓄，以提高未来可消费资源。预期收益较高或未来收入更不确定，也会提高储蓄率。

风险厌恶与风险溢价

不确定现金流的效用取决于它在什么经济状态下支付。投资者损失一单位财富造成的效用下降，大于获得同等财富带来的效用增加，这构成风险厌恶。

若一只通胀指数化无风险债券会在到期前出售，未来售价存在不确定性：

$$P_0=\frac{E(P_1)}{1+R}+\mathrm{cov}(P_1,m_1)$$

对典型风险资产，未来价格在经济繁荣时较高；此时劳动收入也高，未来消费的边际效用相对较低。因此 $P_1$ 与 $m_1$ 的协方差为负，当前价格低于单纯按实际无风险利率折现的期望售价，预期收益相应提高，形成正风险溢价。

单期无风险债券的终值确定，协方差为零，没有这项风险溢价。

GDP 增长与实际短期利率

预期 GDP 增长较高意味着未来收入较高、未来消费边际效用较低、$m_t$ 较低。投资者减少储蓄，实际利率上升。因此：

经济变量	对平均实际短期利率的关系	原因
长期实际 GDP 增长率	正相关	高增长降低未来消费的相对边际效用，减少储蓄
GDP 增长率的预期波动	正相关	更高不确定性要求更高风险溢价

34.5 名义利率与通胀风险

短期无违约证券的通胀不确定性较小：

$$r_{\text{short}}=R+\pi$$

长期债券还需补偿实际通胀偏离预期的风险。以 $\theta$ 表示通胀不确定性溢价：

$$r_{\text{long}}=R+\pi +\theta$$

$\theta$ 随期限增加。长期与短期收益率之间通常为正的期限利差，其中一个来源就是较长期限承担了更高的通胀不确定性。

34.6 货币政策、周期与收益率曲线 — LOS 34.d

中央银行通常兼顾物价稳定和最大可持续就业。Taylor rule 将政策利率与通胀缺口和产出缺口相连：

$$r=R_n+\pi +0.5(\pi -{\pi }^{\ast })+0.5(y-y^{\ast })$$

其中：

• $r$：规则隐含的中央银行政策利率；
• $R_n$：中性实际政策利率；
• $\pi$ 与 ${\pi }^{\ast }$：当前通胀率与目标通胀率；
• $y$ 与 $y^{\ast }$：当前产出的对数与可持续目标产出的对数。

通胀高于目标或产出高于可持续水平时，规则隐含的政策利率上升。及时调整政策利率可以缓和周期；利率长期过低等政策错误可能放大周期。

周期阶段与曲线形状

周期状态	短期政策利率	长期利率所反映的预期	曲线形状与债券相对表现
衰退期	通常较低	预期复苏后 GDP 增长和通胀上升	通常向上倾斜；短债收益率低于长债
扩张后期	通常较高	预期未来增长和通胀下降	曲线趋平或倒挂；倒挂常被视为衰退先行信号
预期增长下降	当前短端可能仍高	未来长端利率下降	长债相对表现较好，曲线可能倒挂

期限利差定义为长期债券收益率减短期债券收益率。正常期限利差通常为正。

34.7 盈亏平衡通胀率 — LOS 34.e

同期限、无违约风险的非通胀指数化债券与通胀指数化债券之间的收益率差，称为盈亏平衡通胀率（break-even inflation rate, BEI）：

$$\mathrm{BEI}=y_{\text{non-inflation-indexed}}-y_{\text{inflation-indexed}}$$

对长期债券：

$$\mathrm{BEI}=\pi +\theta$$

BEI 同时包含预期通胀 $\pi$ 与通胀不确定性溢价 $\theta$，不能直接把整个利差都解释为预期通胀。

34.8 信用利差与商业周期 — LOS 34.f

信用风险债券的必要收益率为：

$$r_{\text{credit}}=R+\pi +\theta +\gamma$$

$\gamma$ 是同期限信用风险债券相对无违约债券的额外风险溢价，即信用利差。

经济疲弱时，违约率上升且回收率下降，两者共同抬高信用损失，信用利差扩大。扩张期信用利差缩小。

利差变化	信用债相对无违约债	评级之间的相对表现
缩小	信用债跑赢	低评级债收益率降幅通常更大，跑赢高评级债
扩大	信用债跑输	高评级债收益率升幅较小，相对跑赢低评级债

长期公司债利差的上限判断

某 10 年期公司债收益率为 7.50%，实际利率为 3%，预期通胀为 2%。

$$7.50\%-3.00\%-2.00\%=2.50\%=\theta +\gamma$$

长期债券的 $\theta >0$，故信用利差 $\gamma <2.50\%$。

34.9 产品市场特征与信用质量 — LOS 34.g

行业信用利差的差异主要来自产品和服务的周期属性，以及行业企业的财务杠杆。消费周期行业的收入对经济活动更敏感，衰退期信用利差扩大得更多；消费非周期行业需求较稳定，利差变化较小。

题干线索	该答	最易混的	判别关键
耐用品、可选消费，需求可推迟	消费周期行业，衰退期利差显著扩大	必需消费	产品需求对收入和周期敏感
食品、日用品等必需消费	消费非周期行业，盈利与利差较稳定	可选消费	消费难以推迟
同一行业内信用质量差异	同时检查财务杠杆	只看产品周期	利差还取决于发行人的杠杆

34.10 消费对冲属性与权益风险溢价 — LOS 34.h

权益的折现率在信用风险债券基础上再加入权益特有风险溢价：

$$r_{\text{equity}}=R+\pi +\theta +\gamma +\kappa$$

其中 $\kappa$ 为权益相对风险债务的额外溢价；总权益风险溢价为：

$$\lambda =\gamma +\kappa$$

在经济衰退、消费边际效用较高时提供较高支付的资产，具有较好的消费对冲属性，当前价值较高，所需风险溢价较低。权益价值通常在扩张期较高、衰退期较低，支付与消费边际效用呈不利组合，消费对冲能力较差，因此权益风险溢价为正。

34.11 盈利预期与行业周期 — LOS 34.i

行业类型	例子	短期盈利与周期	长期判断
周期性	耐用品、可选消费	扩张时收入与盈利上升，收缩时下降	不能把周期高点的增长率直接外推
防御性或非周期性	必需消费	盈利在周期中相对稳定	长期预期受周期修订较少

周期阶段改变分析师对短期盈利增长的预测。长期盈利增长预期也会随经济增长前景变化，但行业对周期的敏感程度决定修订幅度。

34.12 估值倍数的周期变化 — LOS 34.j

P/E、P/B 等倍数与预期盈利增长正相关，与必要收益率负相关：

$$\text{multiple}\uparrow ⟺g_{\text{expected}}\uparrow \text{或}{r}_{\text{required}}\downarrow$$

扩张期分析师上调增长预期，投资者要求的权益风险溢价下降，估值倍数通常上升；收缩期方向相反。因此，当前倍数高于历史均值可能来自当前增长与折现率环境，单靠历史均值不能判定市场高估。

Shiller CAPE（real cyclically adjusted P/E）以实际价格为分子，以过去 10 年实际盈利移动平均为分母，降低未调整 P/E 因单年盈利周期波动造成的波动。

34.13 商业地产的经济属性 — LOS 34.k

商业地产同时具有债券、权益与非流动资产的特征：

特征	价值来源	对应风险
债券型	稳定租金类似债券现金流；租户信用质量类似发行人信用质量	租户违约与租金现金流风险 $\gamma$
权益型	租约结束时的物业价值受经济、租赁需求和地段影响	终值不确定性溢价 $\kappa$
非流动性	以公允价值退出可能耗时数年	非流动性溢价 $\varphi$

商业地产折现率为：

$$r_{\text{CRE}}=R+\pi +\theta +\gamma +\kappa +\varphi$$

租金收入可能跨周期相对稳定，物业价值却高度周期性，与权益等其他风险资产的价值通常正相关。商业地产在经济恶化时不能提供良好消费对冲，所需风险溢价较高，往往接近权益风险溢价。

34.14 item set 反查表

题干线索	该答	最易混的	判别关键
消息很好但价格下跌	结果低于先前预期	只看增长为正	价格反映预期变化
GDP 长期增长或增长波动上升	平均实际短期利率上升	只把增长联到现金流	储蓄供给与风险溢价同时变化
刚走出衰退	低短端、较高长端、曲线向上	倒挂	市场预期增长与通胀回升
名义债减通胀指数债	$\pi +\theta$	只写 $\pi$	长期名义债还含通胀不确定性
信用利差缩小	低评级信用债相对跑赢	高评级债	低评级债利差变化更大
衰退时支付更高	风险溢价较低	把高支付理解成高风险	支付发生在边际效用高的状态
地产折现率的特有增量	终值不确定性与非流动性	预期通胀	通胀风险并非地产独有

---

R35: 主动组合管理分析 Analysis of Active Portfolio Management

Reading 35 | Modules 35.1–35.4 | LOS 35.a–35.f

graph LR
  A(("主动管理")) --> B["价值增量<br/>Active Return"]
  A --> C["单位主动风险回报<br/>Information Ratio"]
  A --> D["基本定律<br/>Fundamental Law"]
  B --> B1["资产配置"]
  B --> B2["证券选择"]
  C --> C1["主动收益"]
  C --> C2["跟踪风险"]
  D --> D1["IC 技能"]
  D --> D2["BR 独立决策数"]
  D --> D3["TC 预测转化程度"]

35.1 基准与价值增量 — LOS 35.a

主动管理以跑赢被动基准为目标。合适的基准应满足三项条件：

1. 代表经理可以投资的投资范围；
2. 能以低成本复制；
3. 权重事前可得，收益事后能及时取得。

本 reading 假定主动组合相对基准的系统风险相同，即相对 beta 为 1。若两者 beta 不同，主动收益应按风险调整后的收益差计算，称为 alpha。

Level I 已区分主动与被动管理、介绍基准相对风险和 Sharpe ratio（L1）。Level I 未介绍 information ratio、主动收益的配置与选择分解、基本定律及其 IC、BR、TC 三个构件。

35.2 主动收益与主动权重 — LOS 35.a

主动收益（active return, $R_A$）就是主动管理的价值增量。事前主动收益使用预期值：

$$E(R_A)=E(R_P)-E(R_B)$$

事后主动收益使用实现值：

$$R_A=R_P-R_B$$

证券 $i$ 的主动权重为主动组合权重与基准权重之差：

$$\Delta w_i=w_{Pi}-w_{Bi},\sum _{i=1}^N\Delta w_i=0$$

超配证券的主动权重为正，低配证券为负。事前主动收益也可以直接从主动权重计算：

$$E(R_A)=\sum _{i=1}^N\Delta w_{i}E(R_i)$$

两条路径计算主动收益

已知四只证券的组合权重、基准权重和预期收益：

证券	$w_{Pi}$	$w_{Bi}$	$E(R_i)$	$\Delta w_i$
A	22%	25%	12%	−3%
B	20%	25%	−6%	−5%
C	21%	25%	4%	−4%
D	37%	25%	19%	12%

分别计算两个组合：

$$\begin{array}{rl}E(R_P)& =(0.22)(0.12)+(0.20)(-0.06)+(0.21)(0.04)+(0.37)(0.19)\\ & =9.31\%\\ E(R_B)& =(0.25)(0.12)+(0.25)(-0.06)+(0.25)(0.04)+(0.25)(0.19)\\ & =7.25\%\\ E(R_A)& =9.31\%-7.25\%=2.06\%\end{array}$$

主动权重法得到同一结果：

$$E(R_A)=(-0.03)(0.12)+(-0.05)(-0.06)+(-0.04)(0.04)+(0.12)(0.19)=2.06\%$$

主动权重与期末实现收益正相关，才会产生正价值增量。主动权重之和为零，不是 100%。

35.3 资产配置与证券选择分解 — LOS 35.a

多资产类别组合的主动收益可以直接用组合与基准收益之差计算：

$$E(R_A)=\sum _j{w}_{Pj}E(R_{Pj})-\sum _j{w}_{Bj}E(R_{Bj})$$

也可以分为资产配置收益与证券选择收益：

$$E(R_A)=\underset{\text{资产配置收益}}{\underbrace{\sum _j\Delta w_{j}E(R_{Bj})}}+\underset{\text{证券选择收益}}{\underbrace{\sum _j{w}_{Pj}E(R_{Aj})}}$$

其中：

$$E(R_{Aj})=E(R_{Pj})-E(R_{Bj})$$

资产配置收益来自各资产类别权重偏离基准；证券选择收益来自资产类别内部的组合收益偏离该类别基准。

Optoma Fund 的主动收益分解

资产类别	$w_P$	$w_B$	$E(R_P)$	$E(R_B)$	$\Delta w$
美国股票	45%	40%	11%	12%	5%
美国债券	30%	30%	6%	5%	0%
国际股票	25%	30%	14%	12%	−5%

资产类别	$\Delta w\times E(R_B)$	$E(R_A)$	$w_P\times E(R_A)$
美国股票	0.60%	−1%	−0.45%
美国债券	0.00%	1%	0.30%
国际股票	−0.60%	2%	0.50%
合计	0.00%	—	0.35%

直接计算：

$$E(R_A)=10.25\%-9.90\%=0.35\%$$

分解计算：

$$E(R_A)=0.00\%+0.35\%=0.35\%$$

本例全部价值增量来自证券选择，资产配置贡献为零。

35.4 Sharpe ratio 与 information ratio — LOS 35.b

Sharpe ratio 衡量每单位总风险对应的无风险利率以上收益：

$$SR=\frac{R_P-R_F}{{\sigma }_P}$$

Information ratio（IR）衡量每单位主动风险对应的主动收益：

$$IR=\frac{R_P-R_B}{{\sigma }_{(R_P-R_B)}}=\frac{R_A}{{\sigma }_A}=\frac{\text{active return}}{\text{active risk}}$$

${\sigma }_A$ 称为主动风险、跟踪风险或 benchmark tracking risk。

项目	Sharpe ratio	Information ratio
收益基准	无风险利率	主动组合的基准组合
分母	组合总收益标准差	主动收益标准差
衡量对象	每单位总风险的超额收益	每单位主动风险的主动收益
加入现金或杠杆	比率不变	通常改变比率
可用数据	预期或实现收益	事前或事后主动收益

事前 IR 通常应为正，否则主动管理没有预期价值；事后 IR 可能为负。Closet index fund 表面主动、实际紧贴基准，主动风险很低，IR 很低；扣除费用后 IR 往往为负，其 Sharpe ratio 则与基准接近。

若组合的系统风险为零，并以无风险利率为基准，例如 market-neutral long-short equity fund，则主动收益等于组合超额收益，主动风险等于总风险，IR 与 Sharpe ratio 相等。

在不受约束的主动组合中，把全部主动权重同比例放大，会使主动收益与主动风险同比例变化，IR 不变。将主动组合与基准混合也有相同结果：基准权重越高，主动收益和主动风险同比例下降，混合组合的 IR 不变。

加入现金通常降低相对非现金基准的主动收益，而主动风险变化不大，因此 IR 通常下降。Sharpe ratio 的超额收益和风险则随现金配置同比例下降，比例不变。

35.5 最优主动风险 — LOS 35.b

投资者可以用主动组合与基准的混合比例选择主动风险。某主动基金的主动风险为 10%，投资者若只接受 6%，可配 60% 主动基金与 40% 基准。

不受约束组合使总体 Sharpe ratio 最大的主动风险为：

$${\sigma }_A^{\ast }=\frac{IR}{S{R}_B}{\sigma }_B$$

最优混合组合的 Sharpe ratio：

$$S{R}_P=\sqrt{S{R}_B^2+I{R}^2}$$

基准风险与主动风险的关系为：

$${\sigma }_P^2={\sigma }_B^2+{\sigma }_A^2$$

Omega Fund 的最优主动风险

Omega Fund 的 $IR=0.2$、主动风险 9%；基准 $S{R}_B=0.4$、总风险 12%。

$${\sigma }_A^{\ast }=\frac{0.2}{0.4}(12\%)=6\%$$

最优组合 Sharpe ratio：

$$S{R}_P=\sqrt{0.4^2+0.2^2}=0.4472$$

预期主动收益为：

$$E(R_A)=IR\times {\sigma }_A=0.2\times 6\%=1.2\%$$

基准超额收益为：

$$R_B-R_F=S{R}_B{\sigma }_B=0.4\times 12\%=4.8\%$$

因此组合超额收益与总风险分别为：

$$R_P-R_F=1.2\%+4.8\%=6.0\%$$ $${\sigma }_P=\sqrt{0.12^2+0.06^2}=0.134$$

$6.0\%/13.4\%=0.4472$。Omega 本身主动风险为 9%，要取得 6% 主动风险，配置 $6\%/9\%=67\%$ Omega 与 33% 基准。

35.6 主动管理基本定律 — LOS 35.c

基本定律把经理的预期价值增量分成四个量：

构件	含义	归位
Information coefficient, IC	经理技能；预期主动收益与预测主动收益之间的风险加权相关系数	预测是否正确
Realized information coefficient, $I{C}_R$	实现主动收益与预测主动收益的事后相关系数	当期实现技能
Breadth, BR	每年独立主动决策的数量	有多少相互独立的机会
Transfer coefficient, TC	实际主动权重与最优主动权重之间的相关程度	预测有多少转成持仓
Active risk, ${\sigma }_A$	主动权重的激进程度	承担多少跟踪风险

TC 更精确的定义为：

$$TC=\mathrm{CORR}\left(\frac{{\mu }_i}{{\sigma }_i},\Delta w_i{\sigma }_i\right)=\mathrm{CORR}\left(\Delta w_i^{\ast }{\sigma }_i,\Delta w_i{\sigma }_i\right)$$

${\mu }_i$ 为证券 $i$ 的事前主动收益。最优主动权重与预期主动收益正相关、与预期主动风险负相关。不受约束组合有 $\Delta w_i=\Delta w_i^{\ast }$、$TC=1$；卖空限制或主动风险限制会使 $TC<1$。

经理每月对 10 只证券作独立主动决策时，$BR=10\times 12=120$。只有决策真正独立，才能这样相乘。

Grinold rule 给出证券的预期主动收益：

$${\mu }_i=IC{\sigma }_i{S}_i$$

$S_i$ 是方差标准化为 1 的证券评分。组合预期价值增量为：

$$E(R_A)=\sum _i\Delta w_i{\mu }_i$$

不受约束时：

$$I{R}^{\ast }=IC\sqrt{BR}$$ $$E(R_A{)}^{\ast }=IC\sqrt{BR}{\sigma }_A$$

受约束时：

$$IR=(TC)IC\sqrt{BR}$$ $$E(R_A)=(TC)IC\sqrt{BR}{\sigma }_A$$

TC 低于 1 会降低 IR、预期主动收益与最优主动风险。受约束组合的最优主动风险及 Sharpe ratio 为：

$${\sigma }_{CA}^{\ast }=TC\frac{I{R}^{\ast }}{S{R}_B}{\sigma }_B$$ $$S{R}_{PC}=\sqrt{S{R}_B^2+T{C}^{2}I{R}^{\ast 2}}$$

事后表现

给定当期实现技能 $I{C}_R$，条件预期主动收益为：

$$E(R_A\mid I{C}_R)=(TC)(I{C}_R)\sqrt{BR}{\sigma }_A$$

实际主动收益为：

$$R_A=E(R_A\mid I{C}_R)+\text{noise}$$

实现主动收益方差中，$T{C}^2$ 的比例来自 $I{C}_R$ 的变化，其余 $1-T{C}^2$ 来自约束引起的噪声。

35.7 经理选择与主动风险 — LOS 35.d

最优风险组合是 Sharpe ratio 最高的组合。在本 reading 的假设下，主动组合 IR 越高，与基准形成的最优组合 Sharpe ratio 越高。因此，投资者不论风险承受度如何，都选择 IR 最高的主动经理，再通过主动组合、基准和无风险资产之间的配置调整风险水平。

给定目标主动风险，预期主动收益为：

$$E(R_A)=IR\times {\sigma }_A$$

事前 IR 用于构建主动组合和选择经理；事后 IR 用于评价经理以往表现。IR 不适合衡量相对无风险利率的超额收益，后者属于 Sharpe ratio。

35.8 市场择时、证券选择与行业轮动 — LOS 35.e

市场择时是对市场或某个市场板块方向下注。若择时判断只有“对/错”两种结果：

$$IC=2(\%\text{ correct})-1$$

正确率 50% 对应 $IC=0$。

择时经理与选股经理

Bhansali 每季度作一次市场方向判断，正确率 55%；Neal 每年作 50 个独立选股决策，$IC=0.04$。两者组合均不受约束，故 $TC=1$。

$$I{C}_{\text{Bhansali}}=2(0.55)-1=0.10$$ $$I{R}_{\text{Bhansali}}=0.10\sqrt{4}=0.20$$ $$I{R}_{\text{Neal}}=0.04\sqrt{50}=0.28$$

Neal 的 IC 较低，较大的独立决策数仍使其 IR 较高。

行业轮动

在两个行业 X 与 Y 之间轮动，每次决策的主动风险等于两行业收益差的标准差：

$${\sigma }_C=\sqrt{{\sigma }_X^2-2{\sigma }_X{\sigma }_Y{r}_{XY}+{\sigma }_Y^2}$$

每年作 $BR$ 次独立决策时：

$${\sigma }_A={\sigma }_C\sqrt{BR}$$ $$E(R_A)=IC\sqrt{BR}{\sigma }_A$$

消费行业月度轮动

行业	$E(R)$	$\sigma$	基准权重
必需消费	10.8%	3.0%	65%
可选消费	13.2%	5.0%	35%

两行业相关系数为 0.30，每月作一次决策，正确率 60%。

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_C& =\sqrt{0.03^2-2(0.03)(0.05)(0.30)+0.05^2}\\ & =0.05=5\%\end{array}$$ $${\sigma }_A=0.05\sqrt{12}=17.32\%$$ $$IC=2(0.60)-1=0.20$$ $$E(R_A)=0.20\sqrt{12}(0.1732)=12\%$$

概率加权复算：月度主动收益 $=(0.60)(0.05)+(0.40)(-0.05)=1\%$，年化为 12%。

若主动风险上限为 5.20%，允许偏离基准权重的比例为 $5.20\%/17.32\%=30\%$。当经理预计必需消费跑赢时，必需消费配至 $65\%+30\%=95\%$，可选消费配至 5%。

35.9 基本定律的用途与限制 — LOS 35.f

基本定律可以评价证券选择、市场择时和行业轮动。它把价值增量追溯到技能、独立机会、约束与主动风险，输入估计不准会直接使输出失真。

IC 的事前估计

IC 衡量经理预测的准确程度。经理可能高估自己的预测能力，事前 IC 的偏差会传入事前 IR 和预期主动收益。

BR 的独立性

若 $N$ 个决策之间具有共同相关系数 $r$，有效 breadth 为：

$$BR=\frac{N}{1+(N-1)r}$$

$r>0$ 时，有效 BR 小于决策数量 $N$。独立性可能从两个方向失效：

• 横截面依赖：同一行业的价值股使用相似基本面信息；
• 时间序列依赖：相邻月份的再平衡决策依赖相同信号。

只有主动收益在横截面和时间上都不相关时，BR 才等于证券数乘每年决策期数。

35.10 item set 实操

graph TD
  A["1 确定比较基准"] --> B["2 算主动权重与主动收益"]
  B --> C{"题目要归因还是风险调整？"}
  C -->|"归因"| D["配置收益 + 选择收益"]
  C -->|"风险调整"| E["IR = 主动收益 / 主动风险"]
  E --> F{"组合是否受约束？"}
  F -->|"不受约束"| G["TC = 1"]
  F -->|"受约束"| H["保留 TC"]
  G --> I["IR = IC√BR"]
  H --> J["IR = TC×IC√BR"]
  I --> K["按目标主动风险求价值增量"]
  J --> K

题干线索	该答	最易混的	判别关键
主动权重	$w_P-w_B$，合计为零	组合权重合计 100%	问的是相对基准偏离
相对基准每单位风险	IR	Sharpe ratio	分母是主动收益标准差
加现金	IR 通常下降	Sharpe ratio	基准仍是非现金组合
受约束组合	$TC<1$	降低 IC	约束影响预测转成权重的程度
多次相关决策	用有效 $BR=N/[1+(N-1)r]$	直接用决策总数	BR 只数独立决策
择时正确率	$IC=2p-1$	直接把 $p$ 当 IC	50% 正确率对应零技能
选择经理	比较 IR	只比较主动收益	IR 同时纳入主动风险

---

R36: 交易所交易基金的机制与应用 Exchange-Traded Funds: Mechanics and Applications

Reading 36 | Modules 36.1–36.3 | LOS 36.a–36.h

graph LR
  A(("ETF")) --> B["一级市场<br/>申购与赎回"]
  A --> C["二级市场<br/>投资者交易"]
  A --> D["指数跟踪"]
  A --> E["组合应用"]
  B --> B1["AP 与实物篮子"]
  B --> B2["套利使价格靠近 NAV"]
  C --> C1["买卖价差与交易成本"]
  D --> D1["Tracking Difference"]
  D --> D2["Tracking Error"]
  E --> E1["流动性、再平衡、补全、过渡"]
  E --> E2["核心、战术与主动因子"]

36.1 与 Level I 的衔接

Level I 已说明 ETF 在交易所交易、可日内买卖和卖空，通常费用较低，申赎机制使价格贴近 NAV，并具有较高税收效率。L2 进一步展开：

• 授权参与者（authorized participant, AP）、申购/赎回篮子与 creation unit；
• 一级市场套利的成本区间、二级市场结算和不同市场结构；
• tracking difference 与 tracking error 的严格区分及七类来源；
• 买卖价差、NAV 溢折价、完整持有成本；
• ETF、ETN、杠杆产品的风险，以及组合管理中的具体用途。

36.2 ETF、AP 与实物申赎 — LOS 36.a

ETF 是跟踪指数或其他基准组合的份额，在二级市场交易。多数 ETF 直接持有标的证券，也可使用衍生品、美国存托凭证（ADR）或杠杆。发起人按基金声明的指数或风格配置组合，并通过实物申赎增减份额。

普通投资者退出时，在交易所卖出 ETF 份额，ETF 发起人不参与这笔二级市场交易。一级市场由发起人指定的 AP 参与。AP 通常是大型经纪交易商，缴纳服务费后可以申购新份额或赎回既有份额。

概念	含义	资产流向
Creation basket	发起人每日公布的申购证券篮子，可含现金，也是 NAV 的主要输入	AP 交证券篮子，收 ETF 份额
Redemption basket	AP 赎回 ETF 份额时收到的证券组合	AP 交 ETF 份额，收证券篮子
Creation unit	一级市场交易的份额批量，常见为 50,000 份	申购和赎回按整单位办理

实物申赎有三项作用：

1. 降低基金内部交易成本。 发起人无须为申赎直接买卖组合证券；AP 支付的服务费覆盖附带费用。
2. 提高税收效率。 实物申赎通常不触发基金层面的应税出售。发起人还可定制赎回篮子，把成本基础较低的证券交给赎回 AP，提高剩余持仓的成本基础。未交易持有人不会承担赎回导致的资本利得税。
3. 约束市价偏离 NAV。 ETF 溢价时，AP 买入申购篮子、创建 ETF 份额并在市场卖出；ETF 折价时，AP 买入 ETF、赎回证券篮子并卖出。

套利区间

AP 需要承担篮子交易成本、服务费和完成交易期间的市场风险，因此 ETF 市价只会被套利约束在 NAV 周围的一段区间，称为 arbitrage gap。

情形	AP 成本或风险	Arbitrage gap
标的证券流动性高	篮子买卖容易	较窄
公司债等标的流动性低	交易成本与持仓风险高	较宽
ETF 与海外标的交易时区不同	AP 在完成套利前承担价格风险	较宽
发起人申赎费较高	套利成本高	较宽

AP 把这些成本反映在 ETF 的买卖价差中，只有交易的持有人承担。共同基金为满足赎回而卖出资产时，交易成本和税务后果可能由全部持有人共同承担。

溢价 ETF 的申购套利

ETF 市价为 23.45，每份 NAV 为 23.00，溢价为 0.45。若 arbitrage gap 小于 0.45，AP 可按 NAV 对应成本取得申购篮子、创建 ETF 份额并以 23.45 卖出。若套利成本达到或超过 0.45，交易没有利润空间。

36.3 二级市场交易与结算 — LOS 36.b

ETF 在二级市场像股票一样交易。美国市场中，National Securities Clearing Corporation（NSCC）担保交易双方履约；其子公司 Depository Trust Company（DTC）在两日结算期末把证券从卖方经纪商账户转至买方经纪商账户。客户层面的所有权记录由经纪商保存。

市场做市商在申赎流程中承担特殊作用，结算最长可有六天。考试情景问 AP 的结算期时，采用六天。

欧洲 ETF 市场分散在多个国家和交易所，机构投资者占比较高。多数 ETF 交易发生在 OTC 市场，未必有实时买卖报价；同一 ETF 可能在多个交易所上市并有多个份额类别。欧洲有 29 个中央证券存管机构，结算复杂度会扩大报价价差。

36.4 跟踪差异与跟踪误差 — LOS 36.c

Tracking difference 是 ETF 按 NAV 计算的收益与所跟踪指数收益之差：

$$T{D}_t=R_{\mathrm{ETF},t}-R_{\mathrm{index},t}$$

Tracking error 是每日 tracking difference 的年化标准差：

$$TE=annualized\; std.dev.(T{D}_{\mathrm{daily}})$$

指标	回答的问题	不能说明什么
Tracking difference	某日或某持有期 ETF 跑赢或跑输指数多少	单个差值不衡量长期波动
Tracking error	ETF 相对指数的收益差有多不稳定	标准差不说明平均跑赢或跑输方向，也不说明偏差集中在哪段时期
滚动持有期差异	管理与费用的累计影响	不等同于每日差异的标准差

年度滚动持有期收益差可以和 expense ratio 比较。ETF 通常会因费用而落后基准约一个 expense ratio。

跟踪误差来源

1. 费用与开支。 费用直接减少基金收益。
2. 抽样与优化。 ETF 可能只持有指数样本，优化模型常偏向高流动性和大市值证券，形成相对指数的规模偏差。
3. 存托凭证与其他 ETF。 海外指数 ETF 可能用 DR 替代当地股票；时区差使 DR 与原证券价格不同。投资其他行业 ETF 时，还会继承底层 ETF 的跟踪误差。
4. 指数调整。 指数调仓后，基金通过申赎篮子调整持仓可能存在时滞。指数变动较少，这一项通常贡献最小。申赎机制本身会帮助跟踪，不能把“有申赎”直接列为误差来源。
5. 监管与税收。 外国与本国投资者税率不同，会使 ETF 税后收益偏离指数。
6. 基金会计。 ETF 计算 NAV 与指数提供商计算指数的时点不同；外币持仓使用的汇率取值时点也可能不同。
7. 资产管理操作。 证券出借和追回海外股利税款可以提高 ETF 相对基准的表现，也会使 tracking difference 变化。

36.5 ETF 买卖价差 — LOS 36.d

ETF 买卖价差主要取决于底层证券的流动性与市场结构。

• 固定收益 ETF 的价差通常大于大盘股 ETF；
• ETF 与底层证券在不同市场或时区交易时，两边市场同时开市的重叠时段价差较窄；
• 商品、波动率期货、小盘股等专业 ETF 的价差较宽；
• ETF 本身交易清淡时，即使底层证券流动性尚可，价差也较高；
• 市场波动上升或即将公布重大信息时，价差扩大。

做市商可以在二级市场找相反方向的客户，也可以到一级市场申赎。最大报价价差可写成：

$$\begin{array}{rl}\text{maximum spread}& =\text{申赎费与其他交易成本}\\ & +\text{底层证券价差}\\ & +\text{持有头寸至交易完成的风险溢价}\\ & +\text{AP 正常利润率}\\ & -\text{二级市场对冲成交概率折扣}\end{array}$$

二级市场很可能迅速出现相反方向订单时，做市商要求的价差缩小。屏幕报价通常面向较小订单；大额交易宜协商，协商价差随流动性与波动环境变化。

36.6 NAV 溢价与折价 — LOS 36.e

ETF 市价高于 NAV 称为溢价，低于 NAV 称为折价：

$$\text{premium (discount) \%}=\frac{P_{\mathrm{ETF}}-\mathrm{NAV}\mathrm{per}\mathrm{share}}{\mathrm{NAV}\mathrm{per}\mathrm{share}}$$

ETF 与底层证券在同一交易所同步收盘时，价格时点一致，时间差噪声较少。交易所还会公布盘中指示 NAV（intraday indicated NAV, iNAV）。

溢折价主要来自：

来源	情景	市价与 NAV 为什么不同
时区差	海外标的市场已收盘，ETF 仍在交易	ETF 市价反映新信息，NAV 仍基于较早的当地收盘价
OTC 债券估值	债券没有真实交易所收盘价	定价服务可能用可比债券 bid 估值，风险库存折价使 NAV 偏低
陈旧价格	ETF 最后一笔成交在 14:00，标的按 16:00 收盘计算 NAV	ETF 旧成交价未反映后续市场变化

底层市场关闭、标的高度波动或不流动、ETF 与标的定价存在时滞时，ETF 的交易价格可能比 NAV 或 iNAV 更能反映当前公允价值。因此，市价高于 iNAV 只说明溢价，不能据此断定 ETF 高估。

36.7 ETF 持有成本 — LOS 36.f

ETF 成本包括管理费和交易成本。被动管理与发起人竞争使 ETF 管理费通常低于共同基金。

交易成本包括佣金、买卖价差和大额订单的价格冲击。买入时支付的 NAV 溢价若在持有期内消失，也构成隐含交易成本。指数换手产生基金内部交易成本，对稳定指数通常很小。

$$\text{total cost}=\text{round-trip trading cost}+\text{management fees}$$ $$\text{round-trip trading cost}=\text{round-trip commission}+\text{spread}$$

交易成本只在买卖时发生，持有期越长，年化交易成本越低。短期交易者更关注价差、佣金和流动性；长期买入持有者更关注每年重复发生的管理费。

不同持有期的 ETF 成本

ETF 报价价差为 0.15%，单边佣金为交易价值的 0.10%，年管理费为 0.08%。

$$\text{round-trip commission}=2\times 0.10\%=0.20\%$$ $$\text{round-trip trading cost}=0.20\%+0.15\%=0.35\%$$

三个月持有成本：

$$0.35\%+\frac{3}{12}(0.08\%)=0.37\%$$

一年持有成本：

$$0.35\%+0.08\%=0.43\%$$

五年持有成本与平均年成本：

$$0.35\%+5(0.08\%)=0.75\%,\frac{0.75\%}{5}=0.15\%$$

36.8 ETF 风险 — LOS 36.g

交易对手风险

ETN 是发行人通常为银行的无担保债务，承诺支付指数收益减管理费，投资者直接暴露于发行人违约。银行可发行跟踪权益指数的 ETN，同时在权益互换中收权益收益、付固定利率，使有效融资成本变成互换固定利率。银行违约时 ETN 投资者可能损失本金。发行银行 CDS spread 越高，交易对手风险越高；一年期 CDS spread 高于 5% 通常被视为风险很高。

结算与证券出借风险

使用 OTC 衍生品的 ETF 承担合约结算风险，可通过每日或每周结算、要求抵押品降低风险。ETF 也可把证券借给卖空者，借券通常超额抵押，抵押品投向短期无风险证券。出借费可抵销运营费用，但借券方违约风险由 ETF 投资者承担。

关闭与暂停申赎

ETF 关闭时会出售底层持仓并向投资者分配现金，可能产生不利税务后果。监管变化、竞争、发起人合并或资产规模不足都可能触发关闭。Soft closure 可表现为暂停创建新份额或改变投资策略。

ETN 发起人不再需要更多融资时，可能停止创建份额。申购暂停破坏套利机制，ETN 可能大幅溢价交易。

预期偏差风险

反向或杠杆 ETF 通常用每日重置的衍生品实现目标，跨日复利会使长期结果偏离“期间指数总收益乘杠杆倍数”的直观预期。

两倍杠杆 ETF 的路径依赖

初始 NAV 为 100。第一天指数上涨 5%，两倍 ETF 上涨 10%：

$$100(1+2\times 5\%)=110$$

第二天指数下跌 5%，两倍 ETF 下跌 10%：

$$110(1-10\%)=99$$

两天指数变动幅度一正一负，ETF 仍从 100 降至 99。每日复利使杠杆 ETF 不适合持有期超过一个月的买入持有者。

36.9 ETF 的组合用途 — LOS 36.h

高效组合管理

用途	做法	目的
流动性管理	把多余现金快速投进 ETF，也可预留 ETF 应对未来流出	减少 cash drag，维持市场敞口
再平衡	买卖或卖空资产类别/行业 ETF	低成本恢复目标权重
组合补全	用 ETF 填补经理更换或经理持仓与客户目标之间的暂时缺口	保留缺失的资产类别或风格敞口
过渡管理	新经理逐步调整旧组合时暂持 ETF	过渡期维持市场敞口

超大型资产所有者可能用 separately managed account（SMA）取得更低成本与更高定制程度，也可避免大型 ETF 持仓的公开披露。ETF 的固定配置对这类投资者未必合适。

资产类别敞口

ETF 可提供资产类别、子类别、行业和主题敞口。固定收益底层债券流动性较差时，交易 ETF 往往比逐只交易债券容易。

• 核心敞口：低成本建立广泛分散的长期战略配置；
• 战术配置：暂时增减预期跑赢或跑输的行业、主题；
• 短期战术 ETF 更看重流动性与低交易成本，管理费次之；
• 流动性可用平均美元成交额与平均资产之比衡量，比值越高越好。

主动与规则型 ETF

类型	构造	主要用途或特点
Factor / smart beta	用预先定义的筛选和权重规则取得规模、动量等因子敞口	追求因子超额收益；不同产品的因子定义和权重可能不同
Multifactor	同时暴露于多个因子，可随机会动态调权	表现取决于敞口是否取得、因子是否获市场补偿
风险管理型	低波动、货币对冲、利率风险对冲等规则	改变相对基准的风险来源
另类加权	等权、基本面加权等非市值权重	改变标准市值指数的权重结构
Discretionary active	经理主动管理，结构类似封闭式共同基金	固定收益中较常见，包括银行贷款、MBS、浮息票据
动态资产配置与多资产	按风险收益预测自上而下调节股债配置	全球资管与对冲基金使用较多

主动固定收益 ETF 比主动权益 ETF 更常见，因为单只固定收益证券通常流动性较低。主动 ETF 适合长期买入持有，目标是跑赢基准，跟踪风险通常高于被动 ETF。

36.10 item set 反查表

题干线索	该答	最易混的	判别关键
ETF 溢价超过套利成本	AP 创建份额并卖出 ETF	赎回份额	创建增加市场供给，压低溢价
ETF 折价超过套利成本	AP 买入 ETF 并赎回篮子	创建份额	赎回减少市场供给，利用低价买入
每日收益差的年化标准差	Tracking error	Tracking difference	一个是波动，一个是差值
iNAV 低于市价	ETF 以溢价交易	ETF 一定高估	时区和陈旧价格可使 NAV 滞后
大额、波动高、底层不流动	买卖价差扩大	管理费上升	影响的是做市与对冲成本
短期频繁交易	优先低价差、高流动性	只找最低管理费	一次性交易成本占比高
ETN	高交易对手风险	普通实物 ETF	ETN 是发行人无担保债务
杠杆 ETF 两日涨跌抵销	NAV 仍受复利路径影响	期间收益直接乘杠杆	每日重置基数变化
临时填补资产配置缺口	Portfolio completion	Transition management	前者补敞口，后者服务经理交接

---

R37: 多因子模型的运用 Using Multifactor Models

Reading 37 | Modules 37.1–37.3 | LOS 37.a–37.g

graph LR
  A(("多因子模型")) --> B["APT 定价"]
  A --> C["三类模型"]
  A --> D["组合应用"]
  B --> B1["因子敏感度 × 风险溢价"]
  B --> B2["无套利约束"]
  C --> C1["宏观：意外值"]
  C --> C2["基本面：公司属性"]
  C --> C3["统计：协方差或方差"]
  D --> D1["收益归因"]
  D --> D2["风险归因"]
  D --> D3["跟踪与因子组合"]

37.1 与 Level I 的衔接

Level I 的 CAPM（L1） 用市场组合这一个系统风险因子解释预期收益，并介绍 beta、分散化、回归与相关性。L2 R37 新增：

• 不指定具体因子的套利定价理论（APT）及零成本、零系统风险套利组合；
• 宏观、基本面与统计多因子模型的构造差异；
• 主动收益与主动风险的因子/证券选择归因；
• factor portfolio、tracking portfolio 与 Carhart 四因子模型；
• tracking risk 与 information ratio 的事后解释。

37.2 APT 的假设与定价式 — LOS 37.a

套利定价理论（arbitrage pricing theory, APT）是 CAPM 的替代模型。它认为多个由市场定价的系统风险因子共同决定充分分散组合的预期收益，但不指定因子的身份，甚至不指定因子数量。

APT 有三项假设：

1. 可投资资产足够多，组合能分散非系统风险；
2. 资产收益由因子模型生成；
3. 不存在套利机会。

第三项假设意味着投资者可以建立任意大的多空头寸利用错误定价，价格随即回到均衡。APT 对因子识别缺少实务指引，这是它的主要弱点。

充分分散组合 P 的 APT 定价式为：

$$E(R_P)=R_F+{\beta }_{P,1}{\lambda }_1+{\beta }_{P,2}{\lambda }_2+\cdots +{\beta }_{P,k}{\lambda }_k$$

其中 ${\beta }_{P,j}$ 是组合对因子 $j$ 的敏感度，${\lambda }_j$ 是该因子的风险溢价。${\lambda }_j$ 等于纯因子组合的预期收益减无风险利率；该纯因子组合对因子 $j$ 的敏感度为 1，对其余因子为 0。

模型中的因子被“定价”，表示风险溢价在统计与经济上都有意义。APT 不要求任何一个因子必须是市场组合。CAPM 可以视为 APT 的受限单因子特例，唯一因子被限定为市场风险。

37.3 套利机会与套利组合 — LOS 37.b

套利机会是无需初始净投入、不承担风险、却能取得利润的投资机会。APT 套利组合同时满足：

$$\text{净投入}=0,\text{净因子敏感度}=0,E(R)>0$$

构造原则是做多相同因子风险下预期收益较高的组合，做空预期收益较低的组合。卖空所得为多头融资。

单因子套利组合

组合	预期收益	因子敏感度
A	10%	1.0
B	20%	2.0
C	13%	1.5

以 50% A 和 50% B 构造 D：

$${\beta }_D=0.5(1.0)+0.5(2.0)=1.5$$ $$E(R_D)=0.5(10\%)+0.5(20\%)=15\%$$

D 与 C 的因子敏感度相同，D 的预期收益高 2%。做多 D、做空 C 后：

$${\beta }_{\text{arb}}=1.5-1.5=0,E(R_{\text{arb}})=15\%-13\%=2\%$$

组合没有初始净投入或净系统风险，预期套利收益为 2%。套利活动会压低 C 的价格并提高其未来预期收益，直至错误定价消失。

若三只组合 A、B、C 的敏感度分别为 1.20、2.00、1.76，预期收益分别为 10%、20%、13%，令 A 的多头权重为 $w$、B 为 $1-w$，并做空 100% C：

$$w(1.20)+(1-w)(2.00)=1.76\Rightarrow w=30\%$$

因此做多 30% A、70% B，做空 100% C。净敏感度为 0，预期套利收益为：

$$0.3(10\%)+0.7(20\%)-13\%=4\%$$

37.4 因子敏感度与预期收益 — LOS 37.c

给定无风险利率、因子敏感度和因子风险溢价：

$$\text{Expected return}=R_F+\sum _j{\beta }_j{\lambda }_j$$

两因子 APT 预期收益

无风险利率为 5%。Invest Fund 对因子 1、2 的敏感度分别为 1.50、2.00，对应风险溢价分别为 3.00%、1.25%。

$$E(R_{IF})=0.05+1.5(0.03)+2(0.0125)=0.12=12\%$$

反求无风险利率与因子溢价

单因子模型中，组合 A 的预期收益为 7.0%、敏感度为 1.0；组合 B 的预期收益为 7.8%、敏感度为 1.2：

$$0.07=R_F+1.0\lambda$$ $$0.078=R_F+1.2\lambda$$

两式相减得到 $0.008=0.2\lambda$，故：

$$\lambda =4\%,R_F=7\%-4\%=3\%$$

组合 C 的敏感度为 0.8 时，均衡预期收益为：

$$E(R_C)=3\%+0.8(4\%)=6.2\%$$

若题给 C 的预期收益也是 6.2%，则定价正确。

37.5 三类多因子模型 — LOS 37.d

模型	因子是什么	敏感度怎么来	截距	主要弱点
宏观因子模型	GDP、利率、通胀等宏观变量的意外值	资产收益对历史宏观意外值的时间序列回归斜率	在没有意外时的预期收益	因子与敏感度估计依赖历史关系
基本面因子模型	P/E、市值、杠杆、盈利增长等公司属性对应的因子收益	公司属性的横截面标准化值，通常不是回归斜率	回归所需常数，没有单独经济解释	因子定义与标准化选择会影响结果
统计因子模型	统计方法从收益共同变动中提取的组合	由 factor analysis 或 principal components 得到	依模型而定	因子常缺乏经济解释，属于 mystery factors

Factor analysis 找到解释资产收益协方差的因子组合；principal component models 找到解释资产收益方差的因子组合。

37.6 宏观因子模型 — LOS 37.d

两因子宏观模型示例：

$$R_i=E(R_i)+b_{i1}{F}_{GDP}+b_{i2}{F}_{QS}+{\epsilon }_i$$

其中：

• $F_{GDP}$：实际 GDP 增长减共识预期的意外值；
• $F_{QS}$：实际信用质量利差减共识预期的意外值，质量利差定义为 BB 债收益率减国债收益率；
• $b_{i1}$、$b_{i2}$：资产对两个宏观意外值的敏感度；
• ${\epsilon }_i$：罢工、仓库火灾等公司特有意外收益，属于非系统风险。

市场价格已纳入共识预期，驱动意外收益的是实现值与预期值之差。GDP 实际增长 1.5%、共识预期 2.5% 时，$F_{GDP}=-1\%$。

宏观因子影响许多资产，无法通过充分分散消除，属于被定价的系统风险。公司特有意外可分散，不会获得市场风险补偿。零售股对 GDP 意外值通常很敏感；食品零售需求较稳定，GDP 敏感度较低。

Media Tech 的宏观因子收益

$E(R_{MT})=10\%$；GDP 比预期高 2 个百分点；质量利差比预期低 1 个百分点；GDP 与质量利差敏感度分别为 2 和 −0.5；公司特有意外收益为 2%。

$$\begin{array}{rlrl}{R}_{MT}& =0.10+2(0.02)-0.50(-0.01)+0.02& & \\ & =0.100& & \text{预期收益}\\ & +0.040& & \text{正 GDP 意外贡献}\\ & +0.005& & \text{利差下降贡献}\\ & +0.020& & \text{公司特有意外贡献}\\ & =0.165=16.5\%& & \end{array}$$

质量利差意外值为负，敏感度也为负，两者相乘为正。质量利差扩大时，Media Tech 收益下降；利差缩小时，收益上升。

37.7 基本面因子模型 — LOS 37.d

基本面模型示例：

$$R_i=a_i+b_{i1}{F}_{P/E}+b_{i2}{F}_{SIZE}+{\epsilon }_i$$

$F_{P/E}$ 与 $F_{SIZE}$ 是 P/E、规模因子对应的收益，常表现为低与高 P/E、小盘与大盘股票组合之间的收益差。因子 mimicking portfolio 的收益，实务中可通过横截面回归估计：因变量为各股票收益，自变量为标准化因子敏感度。

基本面敏感度通常直接由公司属性标准化：

$$b_{i,P/E}=\frac{(P/E{)}_i-\overline{P/E}}{{\sigma }_{P/E}}$$

标准化把不同量纲的公司属性都转成“距横截面均值多少个标准差”。行业分类等二元变量是例外。

标准化 P/E 敏感度

股票 $i$ 的 P/E 为 15.20，全部股票平均 P/E 为 11.90，横截面标准差为 6.30：

$$b_{i,P/E}=\frac{15.20-11.90}{6.30}=0.52$$

该股票 P/E 高于横截面均值 0.52 个标准差。

宏观因子是意外值，其期望为零，截距可解释为没有意外时的预期收益。基本面因子是因子收益，期望不必为零；标准化敏感度模型中的截距只是回归常数，没有单独经济解释。

37.8 主动收益归因 — LOS 37.e

主动收益为组合收益减基准收益：

$$R_A=R_P-R_B$$

多因子模型把主动收益分为因子收益和证券选择收益：

$$\text{active return}=\text{factor return}+\text{security selection return}$$ $$\text{factor return}=\sum _{i=1}^k({\beta }_{Pi}-{\beta }_{Bi}){\lambda }_i$$ $$\text{security selection return}=\text{active return}-\text{factor return}$$

因子收益来自组合因子敏感度偏离基准；证券选择收益是控制因子敏感度之后的剩余贡献。

Glendale Fund 的收益归因

基金收益 11.2%，基准收益 11.8%。

因子	组合敏感度	基准敏感度	差异	因子溢价	主动收益贡献
P/E	1.10	1.00	0.10	−5.00%	−0.50%
Size	0.69	1.02	−0.33	2.00%	−0.66%
合计	—	—	—	—	−1.16%

总主动收益为：

$$11.20\%-11.80\%=-0.60\%$$

证券选择收益为：

$$-0.60\%-(-1.16\%)=+0.56\%$$

因子倾斜贡献 −1.16%，证券选择贡献 +0.56%，合计主动收益 −0.60%。

37.9 主动风险归因 — LOS 37.e、37.g

主动风险、跟踪误差与跟踪风险都指主动收益的标准差：

$$\text{active risk}=\text{tracking error}={\sigma }_{(R_P-R_B)}$$

主动收益方差分为：

1. 主动因子风险。 组合因子敏感度偏离基准带来的方差贡献；
2. 主动特定风险。 控制因子差异后，个别证券权重偏离基准带来的残差方差贡献。

$$\text{active risk squared}=\text{active factor risk}+\text{active specific risk}$$

原表把两个方差贡献简称为 risk；加总基准是 active risk squared，量纲为收益方差。主动特定风险为：

$$\text{active specific risk}=\sum _{i=1}^n(w_{Pi}-w_{Bi}{)}^2{\sigma }_{\epsilon i}^2$$

主动因子风险作为剩余项：

$$\text{active factor risk}=\text{active risk squared}-\text{active specific risk}$$

三只基金的风险分解

基金	Size 因子	Style 因子	主动因子合计	主动特定	主动风险平方
Alpha	6.25	12.22	18.47	3.22	21.69
Beta	3.20	0.80	4.00	12.22	16.22
Gamma	17.85	0.11	17.96	19.70	37.66

各来源占主动收益方差的比例，以及主动风险本身为：

基金	Size 占比	Style 占比	主动因子占比	主动特定占比	主动风险
Alpha	29%	56%	85%	15%	4.7%
Beta	20%	5%	25%	75%	4.0%
Gamma	47%	0%	48%	52%	6.1%

Gamma 主动风险最高；Alpha 的 style 因子占比最高、主动特定风险占比最低；Gamma 的 size 因子占比最高。主动风险取主动风险平方的平方根，例如 $\sqrt{37.66}\approx 6.1\%$。

37.10 组合构造中的多因子模型 — LOS 37.e

组合	构造	用途
Tracking portfolio	刻意复制一整组指定因子敏感度，常与基准相同	被动复制基准因子敞口，或在相同因子敞口下主动选股
Factor portfolio	对某一个因子敏感度为 1，对其余因子为 0	对单一因子作纯粹投机或对冲
Rules-based / algorithmic portfolio	按规则机械调整因子敞口	构造相对市值加权基准有系统偏离的另类指数

若现有组合 GDP 敏感度为 0.8，经理希望消除 GDP 风险但保留其他因子敞口，可以做空 80% GDP factor portfolio，使 $0.8-0.8=0$。

Tracking portfolio 若复制 S&P 500 的全部因子敏感度，却使用不同股票以寻求跑赢，会有低主动因子风险和高主动特定风险。Factor portfolio 是 tracking portfolio 的特殊情形，只跟踪单一纯因子敞口。

Carhart 四因子模型

Carhart 模型在 Fama–French 三因子的市场、规模、价值之外加入动量：

$$E(R)=R_F+{\beta }_{1}RMRF+{\beta }_{2}SMB+{\beta }_{3}HML+{\beta }_{4}WML$$

因子	定义
RMRF	市值加权股票指数收益减无风险利率
SMB	小盘股平均收益减大盘股平均收益
HML	高账面市值比股票平均收益减低账面市值比股票平均收益
WML	过去赢家平均收益减过去输家平均收益

假设三个组合的敏感度如下：

组合	RMRF	SMB	HML	WML
Eridanus	1.0	0.0	0.0	0.0
Scorpius	0.0	1.0	0.0	0.0
Lyra	1.2	0.0	0.2	0.8

若预期 RMRF 高于市场预期，做多 Eridanus 可取得纯市场因子敞口；Lyra 还含价值与动量敞口。若预期大盘股跑赢小盘股，SMB 将为负，做空 Scorpius。

37.11 多维风险的投资价值 — LOS 37.f

CAPM 下，投资者只能在市场组合和无风险资产之间按风险承受度配置。多因子模型允许投资者：

• 承担自己有比较优势的风险；
• 避开自己难以吸收的风险；
• 在收益确由多个系统因子驱动时，构造更有效率、更分散的组合。

例如，投资期限很长的养老金可以承担流动性风险并获取相应溢价。多因子模型并不负责决定市场组合与无风险资产之间的配置比例，那属于 CAPM 框架。

37.12 Tracking risk 与 information ratio — LOS 37.g

单看平均主动收益不能识别稳定程度。经理 A 连续四季各取得 0.5% 主动收益；经理 B 四季为 8%、5%、−3%、−8%。两者平均主动收益都为 0.5%，经理 B 的跟踪风险明显更高。

事后 information ratio 为：

$$IR=\frac{{\overline{R}}_P-{\overline{R}}_B}{{\sigma }_{(R_P-R_B)}}$$

12 个月 information ratio

月份	$R_P$	$R_B$	$R_P-R_B$
1	0.0101	0.0091	0.0010
2	−0.0013	0.0062	−0.0075
3	0.0110	0.0069	0.0041
4	0.0135	0.0071	0.0064
5	0.0103	0.0067	0.0036
6	0.0093	0.0051	0.0042
7	−0.0011	0.0007	−0.0018
8	0.0085	0.0105	−0.0020
9	0.0091	0.0101	−0.0010
10	−0.0073	−0.0030	−0.0043
11	0.0186	0.0012	0.0174
12	0.0103	0.0097	0.0006
平均	0.0076	0.0059	0.0017
主动收益样本标准差	—	—	0.0063

$$IR=\frac{0.0076-0.0059}{0.0063}\approx 0.27$$

经理每承担 1% 主动风险，平均取得约 27 个基点主动收益。

Sharpe ratio 的基准是无风险利率，分母是总收益标准差；IR 的基准是与投资风格匹配的组合，分母是主动收益标准差。

37.13 item set 实操

graph TD
  A["1 判断题目在定价、归因还是构造"] --> B{"定价？"}
  B -->|"是"| C["Rf + Σβλ"]
  B -->|"否"| D{"归因？"}
  D -->|"收益"| E["先算因子贡献，再用总主动收益减出选择贡献"]
  D -->|"风险"| F["先认清表中是方差贡献，再开方求 active risk"]
  D -->|"构造"| G["纯单因子用 factor portfolio；复制一组敞口用 tracking portfolio"]
  C --> H["检查敏感度与风险溢价的符号"]
  E --> H
  F --> H
  G --> H

题干线索	该答	最易混的	判别关键
宏观实现值偏离共识	Macroeconomic factor model	基本面模型	因子是 surprise
P/E、市值、杠杆的标准化值	Fundamental factor model	宏观模型	敏感度由公司属性直接算
主成分、难以经济解释	Statistical factor model	APT 指定因子	因子由统计共同变动提取
零投入、零净 beta、正收益	套利组合	仅高 Sharpe 组合	多空两边因子敏感度相同
对一个因子为 1、其余为 0	Factor portfolio	Tracking portfolio	单一纯因子敞口
与基准因子敞口相同、持股不同	Tracking portfolio	Factor portfolio	复制的是整组敏感度
表中风险来源相加等于 active risk squared	先视为方差贡献	直接把合计算成风险	最后要开平方

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R38: 市场风险的度量与管理 Measuring and Managing Market Risk

Reading 38 | Modules 38.1–38.5 | LOS 38.a–38.k

graph LR
  A(("市场风险")) --> B["概率型<br/>VaR"]
  A --> C["局部暴露<br/>Sensitivity"]
  A --> D["联合冲击<br/>Scenario"]
  B --> B1["参数法"]
  B --> B2["历史模拟"]
  B --> B3["Monte Carlo"]
  C --> C1["Beta / Duration / Greeks"]
  D --> D1["历史与假设情景"]
  D --> D2["压力与反向压力测试"]
  A --> E["限制与资本配置"]

38.1 VaR 的含义 — LOS 38.a

Value at risk（VaR）用三个要素描述组合的下行风险：

1. 损失金额或组合价值百分比；
2. 损失达到或超过该值的概率；
3. 时间区间。

“月度 5% VaR 为 25,000 USD”表示任一给定月份内，发生至少 25,000 USD 损失的概率为 5%。25,000 是该左尾区间的最小损失，并非最大损失。

“月度 5% VaR 为组合价值的 3%”也可以表述为：

• 5% 的月份里，组合价值至少下跌 3%；
• 以 95% 的置信度，月度损失不超过 3%。

VaR 可先给定损失大小再估计尾部概率，也可先给定尾部概率再估计损失分位点。常用尾部概率为 1%、5% 或 16%；16% 对应正态分布均值以下一个标准差。时间区间可以是日、周、月或其他持有期。

表述	正确解释	VaR 没有提供的信息
周度 5% VaR = 1,000,000	任一周损失至少 1,000,000 的概率为 5%	最大周损失
月度 95% confidence VaR = 3%	95% 的月份损失不超过 3%	尾部内平均损失
日度 1% VaR	左尾 1% 的损失分界	右尾盈利机会

38.2 与 Level I 的衔接

Level I 已定义 VaR 为给定概率和期间下的最小损失，定义 CVaR 为超过 VaR 后的条件期望损失，并介绍 beta（L1）、久期、delta、gamma、vega、风险预算、压力测试与情景分析。

L2 R38 的增量包括：

• 参数法、历史模拟和 Monte Carlo 三种 VaR 估计方法及完整计算；
• IVaR、MVaR 与 relative VaR；
• 敏感度、情景、压力与反向压力测试的适用边界；
• 银行、传统资管、对冲基金、养老金和保险公司的风险指标差异；
• position、scenario、stop-loss 等限制和资本配置。

38.3 三种 VaR 估计方法 — LOS 38.b、38.c

估计 VaR 的第一步是识别决定组合收益的风险因子，例如市场、利率和汇率风险。

参数法

参数法也称 variance–covariance method。若假定风险因子联合正态，只需估计均值、方差与协方差。非正态分布还需偏度、峰度等参数，复杂度提高。

两个风险资产的组合方差为：

$${\sigma }_P^2=w_A^2{\sigma }_A^2+w_B^2{\sigma }_B^2+2w_A{w}_B{\mathrm{Cov}}_{AB}$$

Lookback period 是估计均值、方差和协方差所使用的历史期。日收益方差可用最近两年估计；年度收益需更长历史。近期估计若不能代表预期持有期，可以向长期均值调整。

给定左尾概率 $\alpha$、正态分布临界值 $z_{\alpha }<0$：

$${\mathrm{VaR}}_{\alpha }=-({\mu }_P+z_{\alpha }{\sigma }_P)$$

5% 左尾常用 $z=-1.65$，因此：

$${\mathrm{VaR}}_{5\%}=-({\mu }_P-1.65{\sigma }_P)$$

两资产组合的日度与年度 VaR

证券	日收益标准差	日均收益	与另一证券的日收益协方差
A	0.0158	0.0004	0.000106
B	0.0112	0.0003	—

组合持有 60% A、40% B。日均收益为：

$${\mu }_P=0.6(0.0004)+0.4(0.0003)=0.00036$$

日收益方差为：

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_P^2& =(0.6{)}^2(0.0158{)}^2+(0.4{)}^2(0.0112{)}^2\\ & +2(0.4)(0.6)(0.000106)\\ & =0.000161\end{array}$$ $${\sigma }_P=\sqrt{0.000161}=0.012682$$

日度 5% VaR：

$$[0.00036-1.65(0.012682)](-1)=0.0206=2.06\%$$

假设一年 250 个交易日、日收益独立同分布：

$${\mu }_{\text{annual}}=250(0.00036)=0.09$$ $${\sigma }_{\text{annual}}=\sqrt{250}(0.012682)=0.20052$$ $${\mathrm{VaR}}_{5\%,\text{annual}}=[0.09-1.65(0.20052)](-1)=0.2409$$

组合价值为 10,000,000 USD 时，日度 VaR 为 $10,000,000(0.0206)=206,000$ USD，年度 VaR 为 $10,000,000(0.2409)=2,409,000$ USD。

参数法在正态假设下容易实施，但高度依赖未来均值、标准差和协方差估计。期权等非线性组合通常不适合直接用正态参数法。

若预期年度收益 6.5%、标准差 9%，组合价值 6,400,000 USD：

$${\mathrm{VaR}}_{5\%}=[0.065-1.65(0.09)](-1)=0.0835$$ $$0.0835(6,400,000)=534,400\text{USD}$$

历史模拟

历史模拟把 lookback period 内每日实际风险因子变化作用于当前组合，得到一组当前组合价值变化。将结果从盈利最大排到亏损最大，左尾 5% 中损失最小的那个值就是 5% VaR。

该方法不要求指定正态或其他参数分布。历史期内的期权价格变化已包含非线性，因此可用于含期权组合。它不把近期结果向更长期历史调整，VaR 会强烈依赖所选时期：异常高波动期会高估随后风险，异常低波动期会低估风险。

Monte Carlo 模拟

Monte Carlo 为每个风险因子指定概率分布与因子间相关关系，随机抽取风险因子变化，再用定价模型重估组合。重复数千次后，将结果排序并读取所需左尾分位点。

它不必指定 lookback period，但历史数据通常仍用于估计分布参数。若 Monte Carlo 和参数法使用相同分布、相同参数且模拟次数足够多，两者会得到相同结果。

方法对照

项目	参数法	历史模拟	Monte Carlo
分布来源	假定参数分布，常为正态	直接使用历史风险因子变化	自定统计分布并随机生成
Lookback period	用于估计参数	直接决定经验分布	不必指定；参数可由历史校准
非线性工具	正态线性近似较弱	可用历史变化重估	可用完整定价模型
主要风险	均值、方差、协方差与分布误设	历史样本未覆盖未来	分布、参数、相关性与模型误设
共同步骤	得到组合价值分布后读取左尾分位点	同左	同左

38.4 VaR 的优点与限制 — LOS 38.d

优点

• 概念简单，可用一个金额或百分比交流风险；
• 能比较不同组合、资产类别、交易部门的相对风险；
• 可计算 trading income / VaR，评价单位风险利润；
• 可把总 VaR 分配给各业务部门，用于风险预算和资本配置；
• 全球银行监管者接受 VaR 作为金融风险指标，但不统一指定估计方法或最高 VaR；
• 可通过 backtesting 检验 VaR 模型的可靠程度。

限制

限制	后果
损失概率、期间、lookback、分布与参数都需主观选择	分析者可能刻意选择较低的 VaR
正态假设忽略肥尾	低估极端左尾事件概率
市场下跌时流动性恶化	未计价格冲击的 VaR 低估平仓损失
压力期相关性上升	正常相关性高估分散效益、低估损失
单一数字压缩多种风险	许多风险来源未显示
只看左尾	无法完整描述风险收益权衡和右尾机会

38.5 VaR 的扩展 — LOS 38.e

Conditional VaR

Conditional VaR（CVaR）是在损失达到或超过 VaR 的条件下，左尾损失的期望值，也称 expected tail loss 或 expected shortfall：

$$\mathrm{CVaR}=E[L\mid L\ge \mathrm{VaR}]$$

历史模拟和 Monte Carlo 已生成全部尾部损失，可直接对超过 VaR 的结果求平均。参数法只给分布参数，尾部条件期望的计算较复杂。

Incremental VaR

Incremental VaR（IVaR）是持仓权重发生一项具体变化时，组合 VaR 的实际变化：

$$\mathrm{IVaR}={\mathrm{VaR}}_{\text{new}}-{\mathrm{VaR}}_{\text{old}}$$

某证券权重增加 2%，组合 VaR 从 1,345,600 升到 1,562,400 USD：

$$\mathrm{IVaR}=1,562,400-1,345,600=216,800\text{USD}$$

Marginal VaR

Marginal VaR（MVaR）是 VaR 对某证券权重曲线在当前权重处的斜率：

$${\mathrm{MVaR}}_i={\frac{\partial \mathrm{VaR}}{\partial w_i}|}_{w_i=w_{i,0}}$$

它常被近似解释为权重增加 1% 时 VaR 的变化。严格来说，MVaR 是点处导数；IVaR 是给定有限权重变化的差额。

Relative VaR

事前跟踪误差也称 relative VaR，衡量组合相对基准收益差的 VaR。月度 5% relative VaR 为 2.5%，表示 5% 的月份里，组合相对基准至少落后 2.5%。计算上等于“做多组合、做空基准”的 VaR。

38.6 敏感度、情景与压力测试 — LOS 38.f

敏感度分析考察一个风险因子小幅变化对组合价值的影响。它揭示不同风险因子暴露，但不预测某个损失金额的发生概率。

情景分析同时改变多个风险因子，而且变化幅度通常较大。情景可以造成显著损失，也可以提高组合价值：

• 历史情景使用过去实际发生的风险因子组合，如 1987 年股灾或 2008 年次贷危机；
• 假设情景可采用历史上未发生、但未来概率非零的更极端变化；
• Stress test 用极端风险因子情景检查组合价值或机构偿付能力。

方法	因子数量与幅度	是否给概率	主要用途
VaR	多因子共同形成损失分布	给出尾部概率	汇总给定期间的损失分位点
Sensitivity	单一因子、小幅变化	不给	识别局部暴露与对冲需求
Scenario	多因子、大幅变化或相关性变化	通常不给	分析联合冲击
Stress test	极端因子或极端情景	通常不给	检查资本、权益与生存能力

38.7 股票、债券与期权的暴露度量 — LOS 38.g

股票 beta

股票最常用的风险因子是市场收益，beta 衡量证券或组合对市场收益的敏感度：

$$E(R_i)=R_f+{\beta }_i[E(R_{MKT})-R_f]$$

调整股票或股指持仓，可以控制组合市场 beta。

固定收益 duration 与 convexity

久期估计收益率小幅变化的一阶价格效应，凸性补充大幅变化时的二阶效应：

$$\frac{\Delta P}{P}\approx -\mathrm{Duration}(\Delta Y)+\frac{1}{2}\mathrm{Convexity}(\Delta Y{)}^2$$

若 Duration 使用 Macaulay duration，则一阶项中的 $\Delta Y$ 换成 $\Delta Y/(1+Y)$。

期权 delta、gamma 与 vega

• Delta：期权价值对标的价格的一阶敏感度。Call delta 为 0.6 表示标的上涨 1 USD，call 价值约上涨 0.60 USD；put delta 为 −0.5 表示标的上涨 1 USD，put 价值约下跌 0.50 USD。
• Gamma：delta 对标的价格的敏感度，是二阶效应。
• Vega：期权价值对预期波动率的敏感度。

$$\Delta C\approx \mathrm{delta}(\Delta S)+\frac{1}{2}\mathrm{gamma}(\Delta S{)}^2+\mathrm{vega}(\Delta V)$$

久期与 delta 是一阶效应；凸性与 gamma 是二阶效应。

38.8 敏感度与情景分析的运用 — LOS 38.h

敏感度指标让经理识别过大的风险因子敞口并降低或对冲。风险全部消除后，组合预期只能取得无风险收益，因此目标是控制不适合的风险。

含期权或嵌入期权债券的组合遇到较大情景冲击时，应把情景风险因子输入定价模型，逐只重估证券。因子敏感度适合小幅变化；一阶加二阶近似面对大幅变化仍可能不准。

情景分析常把冲击视为瞬间发生。另一做法是分日或分阶段改变因子，并允许经理在每一步减仓、平仓或调整对冲。允许中途行动会降低总损失；瞬时冲击在交易对手不愿补抵押品、市场缺乏流动性时更现实，也更保守。

反向压力测试

反向压力测试从结果倒推情景：

graph LR
  A["识别最大风险敞口"] --> B["定义不可接受结果<br/>通常威胁机构生存"]
  B --> C["找出会造成该结果的因子组合"]
  C --> D["评估这些情景的可能程度"]
  D --> E["降低已识别的脆弱性"]

情景分析通常位于风险评估流程末端，用于检查 VaR、持仓和单项风险限制之后仍存在的组合脆弱性。银行和对冲基金等高杠杆机构还会用单因子压力测试，求出足以威胁持续经营的因子变动幅度。

38.9 三类风险指标的优缺点 — LOS 38.i

VaR、敏感度和情景分析互为补充。

指标	优点	限制
VaR	给出损失概率和统一风险数值	高度依赖方法、样本与假设；尾部严重程度未显示
敏感度	清楚显示单个因子的相对暴露	不给因子变动概率或预期幅度；局部近似不适合大冲击
情景分析	同时处理多个因子与相关性变化	特定情景通常没有概率；历史情景未必重演，假设情景可能误设

两个债券组合即使久期相同，对 1 bp 收益率变化的价格敏感度相同，其风险仍可能不同，因为政府债、投资级公司债和高收益债的收益率波动程度不同。期权 delta 或 delta-gamma 相同也不代表整体风险相同，标的波动程度可能相差很大。

38.10 各类机构使用的风险指标 — LOS 38.l

风险指标取决于机构的风险来源、监管、杠杆和负债结构。

银行

银行常用：

• 持有至到期证券的久期、外汇敞口等敏感度指标；
• 全资产负债表情景分析和压力测试；
• 杠杆指标与交易证券 VaR；
• 资产负债错配风险；
• 经济资本 VaR，并按地区和业务部门分解。

Economic capital 是企业为承受各业务严重损失并继续生存所需持有的资本。

传统资产管理人

传统 long-only 经理通常以相对风险为主；绝对收益目标经理才更常用绝对 VaR。常用指标包括持仓规模、利率与市场敏感度、历史/假设情景、期权风险和 active share。

Active share 是单只证券组合权重与基准权重之差。事后 tracking error 用历史组合评价表现归因和经理技能；事前 tracking error 面向当前组合的潜在相对落后，是传统经理主要使用的风险估计。

对冲基金

对冲基金按策略选指标，通常使用敏感度、杠杆、情景和压力测试。多空基金分别测量多头、空头和总组合的风险，并检查 gross exposure。使用 VaR 的基金通常关注短期间、低于 10% 的 VaR 度量。

收益分布显著非正态时，常用 maximum drawdown，即特定历史期内从峰值到随后谷值的最大跌幅。

Defined benefit pension fund

DB 养老金关注资产现值减预计负债现值的 surplus。Surplus-at-risk 是“计划资产减负债”的 VaR。负 surplus 最终需要发起企业补足；glide path 是多年调整缴款、修复明显过度或不足筹资状态的计划。

养老金可通过资产负债匹配降低 surplus 不确定性，并分别估计已对冲敞口与用于取得收益的未对冲敞口。

保险公司

机构	保险负债与市场风险的关系	主要指标
Property & casualty	保险风险与投资组合市场风险相关性较低	投资组合敏感度、VaR、capital at risk，以及同时含市场与保险风险的情景
Life insurer	长期年金负债对折现率敏感，保险风险与投资市场风险联系更强	资产与负债的市场敏感度、剩余错配、含死亡与市场风险的情景

P&C 通过再保险和地域分散降低承保风险。正常年份保费收入预计覆盖理赔，投资组合用于覆盖自然灾害等异常损失。监管者可能按保单要求准备金，并对作为准备金的高风险资产折价。

寿险年金支付期越长，当前负债越大；寿险公司可部分匹配资产和负债的市场风险，随后重点管理剩余错配。

38.11 市场风险限制 — LOS 38.j

限制过紧会损害盈利，过松可能造成财务压力、重组或破产。只在业务单元分别设限还可能忽略部门之间的分散效益和抵销头寸。

限制	定义	例子	判别关键
Risk budgeting	先定机构总可接受风险，再分配给业务、策略或资产类别	把总 5% VaR 分给股票与外汇交易部门	分配的是风险额度
Position limit	限制证券、发行人、资产类别、国家、货币或净多空头寸规模	高收益债不超过 AUM 的 10%	约束持仓金额、比例或流动性
Scenario limit	限制给定情景下的预期损失	衰退情景损失不得超过某金额	约束的是情景结果
Stop-loss limit	某期间损失超过阈值后，减仓、平仓或对冲	股票下跌 15% 后减半持仓	由已经发生的损失触发

Position limit 可用金额、组合百分比或平均日/周成交量等流动性指标表示。Portfolio insurance 是组合价值下降时用指数 put 增加对冲的一类 stop-loss 安排。

38.12 风险指标与资本配置 — LOS 38.k

资本配置决定企业资本如何在各业务或活动之间使用，类似组合的资产配置。若忽略风险，最优方案只最大化投入资本预期回报；风险管理还需计入每项活动的风险敞口。

一种做法是先计算各业务单元 VaR，再在全公司最大可接受 VaR 内分配资本与风险预算。比较预期回报时，应同时比较其占用的风险资本或 VaR，而不能只按未调整收益排序。

38.13 item set 实操

graph TD
  A["1 写下概率、期间、损失单位"] --> B{"用哪种 VaR 方法？"}
  B -->|"参数法"| C["算 μ、σ、协方差，再取左尾分位点"]
  B -->|"历史模拟"| D["用历史风险变化重估当前组合并排序"]
  B -->|"Monte Carlo"| E["定分布与相关性，随机重估并排序"]
  C --> F["2 区分 VaR、CVaR、IVaR、MVaR"]
  D --> F
  E --> F
  F --> G["3 按变化幅度选 sensitivity 或 pricing model"]
  G --> H["4 按机构负债与基准选择风险指标"]

题干线索	该答	最易混的	判别关键
超过 VaR 后的平均损失	CVaR	VaR	VaR 只给尾部分界
权重从当前值改到新值后的 VaR 差	IVaR	MVaR	IVaR 是有限变化的差额
VaR 对权重在当前点的斜率	MVaR	IVaR	MVaR 是局部导数
单因子小幅变化	Sensitivity	Scenario	只改变一个因子
多因子同时大幅变化	Scenario	Sensitivity	联合冲击
先定义企业失败，再找致因情景	Reverse stress test	普通 stress test	从不可接受结果倒推
高收益债不得超过 10%	Position limit	Scenario limit	限的是持仓比例
给定衰退情景损失上限	Scenario limit	Stop-loss	情景损失尚未实际发生
DB 养老金	Surplus-at-risk	Maximum drawdown	风险对象是资产减负债

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R39: 回测与模拟 Backtesting and Simulation

Reading 39 | Modules 39.1–39.4 | LOS 39.a–39.h

graph LR
  A(("策略风险评估")) --> B["Backtesting<br/>按历史顺序模拟投资"]
  A --> C["Historical Simulation<br/>随机抽取历史记录"]
  A --> D["Monte Carlo<br/>从拟合分布随机抽取"]
  A --> E["Scenario Analysis<br/>分经济状态检查"]
  A --> F["Sensitivity Analysis<br/>改变输入设定重跑"]
  B --> B1["设计"]
  B --> B2["历史投资模拟"]
  B --> B3["分析输出"]

39.1 回测的目标 — LOS 39.a

Backtesting 使用实际历史数据模拟投资过程，检查某项策略或技术在历史上是否会取得预期超额收益。主要目标是评估策略的风险收益权衡，同时帮助投资者改进投资流程。

回测先提出策略，再按当时可得的历史信息执行规则，最后评价组合表现。系统化、量化经理广泛使用回测，基本面经理也会使用。

回测隐含未来在一定程度上会像过去。历史回测表现好不能保证实盘跑赢；历史回测没有显示预测能力的模型，也很可能不会获得实施机会。算力和数据扩张让投资者能测试大量策略，这也提高了数据挖掘和过拟合风险。

39.2 与 Level I 的衔接

Level I 数量方法已介绍 Monte Carlo 模拟的“指定分布与参数、随机生成风险因子、用模型求值、重复并汇总”流程，以及 bootstrap 的有放回抽样。Level I 还简要提到 VaR、CVaR、情景分析、敏感度分析和另类投资数据库的 survivorship bias。

L2 R39 新增：

• 完整的策略回测设计、rolling-window / walk-forward 流程与多因子组合构造；
• 回测输出指标、对数累计收益图和收益分布图；
• survivorship、look-ahead、data snooping 三类偏差及 point-in-time 数据；
• 结构状态下的历史情景分析；
• 历史模拟与 Monte Carlo 在抽样来源、相关性、尾部依赖和模型误差上的差异；
• 用不同联合分布重跑模拟的敏感度分析。

39.3 回测的三步流程 — LOS 39.b

graph LR
  A["1 Strategy Design"] --> B["2 Historical Investment Simulation"]
  B --> C["3 Analysis of Output"]
  A1["目标、范围、收益定义、规则与成本"] --> A
  B1["按每期可得信息建仓与再平衡"] --> B
  C1["收益、风险、回撤、换手与图形"] --> C

策略设计

主动投资者通常追求较高风险调整收益并控制下行风险。策略设计还应明确换手、集中度和投资期限。

Investment universe 是策略执行时所有可能持仓的资产集合。例如，Russell 3000 可作为广泛的美国股票投资范围。

跨国策略需要决定收益以当地货币还是统一货币计量，并说明是否对冲汇率。收益还应相对于代表投资范围的基准报告；加拿大股票策略可使用 S&P/TSX Composite Index。

Rebalancing frequency 决定交易频率。月度再平衡常见；频率提高会增加交易成本，许多表面利润在计入成本后消失。回测报告应明确是否包含交易成本。

经理偏好较长历史以提高结果可信程度，但金融数据常为非平稳，历史中包含衰退、扩张、高通胀、低通胀等不同 regime。完整时期与各个离散状态都应分别分析。

39.4 因子策略与组合设计 — LOS 39.b

因子是用于预测未来收益或风险、并按吸引力给股票分类的变量，目标是代表有经济基础的独特风险来源。策略应先有金融或经济理论，再制定投资规则并收集数据。仅凭回测表现选择缺乏理论理由的因子，会落入 data-mining trap。

数据通常分为训练（in-sample）与测试（out-of-sample）样本。股票选择模型通常线性组合多个因子，筛选模型也会同时考虑多项指标。

八类常见风格因子

风格	指标	偏好方向
Defensive value	过去 12 个月 earnings yield, E/P	高 E/P
Cyclical value	Book-to-market	高 B/M，即市值相对账面价值低
Growth	市场共识的未来一年盈利增长	高增长
Price momentum	过去 12 个月总收益，排除最近一个月	高动量
Analyst sentiment	过去 3 个月 EPS 修订	正向盈利修订
Profitability	ROE	高 ROE
Leverage	Debt/equity	低杠杆
Earnings quality	Accruals	低应计、较少非现金盈利

每个因子可以做成 long-short portfolio：做多因子排名最高的 20%，做空最低的 20%，每月再平衡。示例不计交易成本。

组合多个因子的两种方法：

方法	权重原则	使用的信息
Benchmark portfolio, BM	各因子等权	不使用波动与相关性调权
Risk parity portfolio, RP	每个因子对总风险贡献相等	因子波动率与因子间相关性

等权因子组合的表现可能接近更复杂的权重方案。Risk parity 不以流动性作为风险贡献相等的直接输入。

39.5 Rolling-window 回测 — LOS 39.b

Rolling window 也称 walk-forward。经理用移动历史窗口校准交易信号或因子，随着新信息到来调整参数、再平衡组合，并持续记录随后样本外表现。模型参数可更新，主要模型方法应事先固定，以减少过拟合。

12 个月 earnings yield 因子的时间轴

假设回测始于 2023 年 11 月 30 日：

1. 用 2022 年 12 月至 2023 年 11 月 EPS，除以 2023 年 11 月 30 日股价，计算各股过去 12 个月 earnings yield；
2. 做空最低收益率五分位，做多最高收益率五分位；
3. 以 2023 年 12 月作为第一个样本外月，记录策略表现；
4. 时间推进到 2023 年 12 月 31 日，原样本外的 2023 年 12 月进入新的样本内窗口；
5. 重复到 2024 年 4 月；
6. 汇总月均收益、maximum drawdown、波动率和 Sharpe ratio（L1）。

策略只有在样本外时期表现良好且具备经济逻辑时才应被接受。Rolling window 仍假定过去模式会重复，可能无法反映金融市场动态变化与极端下行风险。

多因子策略的双层滚动窗口

先用 walk-forward 分别构造八个 long-short 因子组合，再以 BM 或 RP 权重组合因子。RP 还需第二个滚动窗口估计协方差。BM 与 RP 对因子组合均为 long-only，每月再平衡以维持等权或风险平价，随后用样本外收益评价。

39.6 回测输出与 long-short hedged portfolio — LOS 39.b

Fama–French hedged portfolio 方法的流程为：

1. 选定一个因子；
2. 按因子得分排序股票投资范围；
3. 分成五个 quintile；
4. 五分位内部可等权或市值加权；
5. 做多最高得分五分位、做空最低得分五分位；
6. 每月再平衡，用 rolling window 生成样本外收益；
7. 用 Sharpe ratio、maximum drawdown、Sortino ratio 等评价。

部分经理受到禁止卖空的限制，无法直接使用 long-short 方案。因子与未来收益若为非线性，不同回测方法可能给出显著不同的结论。没有一种方法在所有情形下最优，多种方法得出相近结果会提高可信程度。

39.7 回测指标与图形 — LOS 39.c

风险收益指标

指标	含义	判读重点
Sharpe ratio	超额收益除以总标准差	使用全部上行与下行波动
Sortino ratio	超额收益除以目标半标准差	只把低于目标的波动计为风险
VaR	给定概率与期间的最小损失分位点	对分布形状假设敏感
CVaR	超过 VaR 截止值后的平均损失	描述尾部严重程度
Maximum drawdown	历史累计价值从峰值到随后谷值的最大跌幅	CTA 与对冲基金常用

Maximum drawdown 先找到累计收益或财富路径的峰值，再找该峰值之后的最低点：

$$\mathrm{MDD}=\underset{t}{\max }\left(\frac{\text{peak before }t-\text{value at }t}{\text{peak before }t}\right)$$

图形

长期累计收益图适合用对数纵轴，相同百分比变化会占相同垂直距离。图中可以识别：

• structural break：收益路径的结构突变；
• performance decay：策略表现逐渐衰减；
• downside risk：峰谷跌幅与恢复过程。

因子收益分布图可以展示中心、离散程度、偏度和肥尾。图表判读应与 Sharpe、Sortino、VaR、CVaR 和回撤指标结合。

39.8 回测的三类问题 — LOS 39.d

Survivorship bias

幸存者偏差来自只使用当前仍存在的公司或证券，漏掉破产、私有化、被收购、退市等历史成分。解决方法是使用 point-in-time data，即每个历史时点真实可得、包含当时存续和后来消失实体的数据。

FTSE 100 在 1984 年 1 月 3 日设立时有 100 只股票，40 年后的 2024 年 1 月 3 日仍有 100 只，其中只有 26 只属于最初成分。用今天的成分回测整个时期，会利用未来谁能存续的信息。

低波动异常的例子说明结论甚至可能反转：用 1989–2019 年 point-in-time 数据，低波动股票跑赢高波动股票；只保留今天仍存在的股票，会得出高波动股票跑赢的相反结论，因为能存续至今的历史高波动股往往曾有较好表现。

Look-ahead bias

前视偏差是投资决策使用了当时尚未公布的信息。幸存者偏差可以视为其特殊情形。Reporting lag 是常见来源：描述某期的财务或经济数据只能在期末之后取得，还可能被修订。

若公司季度在 2023 年 12 月 31 日结束，大盘公司通常在期末后 30–50 天报告，小盘或中盘公司可能更久。统一假设一个月后可得，会对晚于一个月报告的公司产生前视偏差；统一滞后三个月又会使用过度陈旧的数据，使回测过于保守。

财务报表重述、会计准则改变和政府宏观数据修订也会覆盖当时市场看到的数值。Point-in-time 数据优于统一滞后假设。

Data snooping

数据窥探或 p-hacking 指尝试大量模型后，只选择 t 值最大、p 值最小或历史表现最好的策略。多重尝试提高假阳性概率，回测显著性可能只是偶然。

缓解方法包括：

• 以高于通常水平的临界 t 值，例如 3.0，判定变量显著；
• Cross-validation：用训练数据拟合模型，再用独立验证/测试数据评价；
• Rolling-window 回测：过去的样本内时期调参，随后样本外时期验证；
• 使用不同地域市场数据检验策略是否稳健。

题干线索	偏差	修正
只用今天还在指数里的公司	Survivorship	Point-in-time 成分与退市数据
使用后来修订的 GDP 或财报	Look-ahead	保留当时发布版本与发布日期
尝试数百因子后挑最好的一项	Data snooping	更高显著性门槛、独立验证与经济理论

39.9 历史情景分析 — LOS 39.e

Historical scenario analysis 也称 historical stress testing。它把长历史切成不同结构状态，检查策略在各 regime 中的风险与收益，并考虑 structural breaks。

常见状态划分包括：

• 衰退与扩张。衰退开始和结束通常在事后认定，正式日期可能滞后一年以上；
• 高波动与低波动。可把 VIX 高于过去五年移动平均定义为高波动，低于移动平均定义为低波动；
• 有贸易协议与无贸易协议等制度环境。

策略表现随状态变化。对前文因子组合，RP 的 Sharpe ratio 在衰退期通常比 BM 更有韧性；RP 在高、低波动状态下都可能表现良好，BM 在低波动环境可能表现较差。

概率密度图可以比较状态内分布。BM 与 RP 的收益分布在扩张期可能比衰退期更分散。BM 在扩张与衰退中都呈负偏度和肥尾，衰退期平均收益更低；RP 的方向类似，但峰度和波动较低。

历史情景分析检查离散环境，不能用整个历史平均表现替代。资产收益存在负偏度、超额峰度和尾部依赖时，情景与模拟能补充 rolling-window 回测的下行风险视角。

39.10 历史模拟与 Monte Carlo — LOS 39.f

均值方差等传统配置方法常假定多元正态收益。实际收益经常负偏、肥尾：

• Excess kurtosis 表示极端收益比正态假设更常见；
• Negative skewness 表示极端结果更偏向亏损；
• Tail dependence 表示多项资产或因子的尾部事件会共同发生。

历史模拟

历史模拟从长期历史收益中随机抽取过去的整组资产收益，不保留原时间顺序。每组历史月收益被抽到的概率相同。它仍使用真实历史联合观察，因此自然保留样本中的非正态与横截面相关关系。

历史模拟只能从已经发生的结果抽样，历史只有一条实现路径。银行广泛使用这种方法评价风险。

Monte Carlo

Monte Carlo 为每个关键变量指定统计分布，并用历史收益校准多元联合分布参数，再从该分布随机抽样。它可以显式加入非正态、肥尾、相关性和尾部依赖，也能产生历史样本中未出现的组合。

计算复杂、需要较大算力，且结果取决于分布与参数设定。

项目	Rolling-window backtest	Historical simulation	Monte Carlo
数据顺序	按时间顺序 walk-forward	随机抽历史整组收益，打乱顺序	从拟合联合分布随机抽样
随机性	给定历史与规则后较确定	非确定	非确定
结果范围	只重演记录过的顺序	只使用发生过的单期观察	可生成历史未见组合
相关与尾部	由历史窗口隐含	由抽到的历史联合观察隐含	必须在多元分布中显式设定
主要弱点	历史模式未必重复	可用历史样本有限	模型与参数可能误设

39.11 模拟分析的八步流程 — LOS 39.f

1. 选择目标变量，通常是策略收益及其分布；
2. 确定关键决策变量，包括底层资产收益与策略给定的组合权重；
3. 选择模拟次数 $N$，通常为 1,000–10,000；次数越多，结果通常越稳定；
4. 给关键变量指定分布：历史模拟从历史数据抽样，Monte Carlo 指定正态、均匀、对数正态等分布，并考虑相关性与尾部依赖；
5. 为每个关键变量抽取 $N$ 个随机数；
6. 用抽到的决策变量计算目标变量；
7. 重复抽样与计算直至完成 $N$ 次；
8. 汇总平均收益、方差、Sharpe ratio、maximum drawdown、CVaR 等指标。

39.12 模拟的输入、决策与解释 — LOS 39.g

Historical simulation 的抽样

历史模拟可以有放回或无放回抽样。Bootstrapping 特指有放回抽样，当模拟次数相对历史数据量很大时特别有用。同一条历史观察可以被重复抽中。

模拟中的 bootstrapping 与固定收益从债券价格逐步求零息收益率曲线的 bootstrapping 只是同名，含义不同。

Monte Carlo 的联合分布

Monte Carlo 不直接抽取历史观察，但均值、标准差、偏度、峰度和相关性等分布参数通常由历史数据校准。Tail dependence coefficient 衡量两个随机变量尾部的共同变动；正尾部依赖未被纳入时，下行风险可能被低估。

多个资产或因子相关时，应使用 multivariate distribution。分别独立模拟每个资产无法保留相关结构。

常用 normal 或 Student’s t-distribution 拟合资产收益。回归和分布拟合用于 model calibration，估计均值、标准差、偏度和峰度等参数。

模型复杂度权衡

模型	Specification error	Estimation error	原因
参数少、结构简单	可能较高	较低	数据对少量参数估计较稳定，但模型可能漏掉分布特征
参数多、结构复杂	较低	可能较高	历史拟合好，但有限数据难以精确估计大量参数

模拟结果可用 Sharpe ratio、下行风险和 CVaR 解释，并比较组合与基准的模拟表现。Backtesting、历史模拟和 Monte Carlo 采用不同随机结构，结果出现差异属于预期现象；分布、参数和相关性设定不同会改变 Sharpe、CVaR 与下行风险。

39.13 敏感度分析 — LOS 39.h

敏感度分析检查目标变量如何随某项输入设定变化。对于 Monte Carlo，重要风险来自联合分布误设：收益有肥尾和偏度时，多元正态的均值、方差与相关系数不足以描述联合分布。

本 reading 的做法是改变分布设定后重跑：

1. 先以 multivariate normal distribution 模拟；
2. 再把因子收益拟合为 multivariate skewed Student’s t-distribution；
3. 新分布允许肥尾和偏度；
4. 例如生成 1,000 次模拟；
5. 比较两次模拟与回测的 Sharpe ratio、CVaR 和下行风险。

若结果接近，策略风险结论对分布选择较稳健；若左尾风险差异很大，正态假设下的结论缺乏稳健性。

Skewed multivariate t-distribution 需要估计更多参数，能降低分布结构误设，却会提高参数估计误差。这体现了模型复杂度的同一权衡。

39.14 item set 实操

graph TD
  A["1 策略规则必须先固定"] --> B["2 只用每个时点当时可得的数据"]
  B --> C["3 Walk-forward 生成样本外收益"]
  C --> D["4 计入再平衡与交易成本"]
  D --> E["5 看收益、波动、回撤与尾部"]
  E --> F["6 分 regime 检查"]
  F --> G["7 用历史与 Monte Carlo 模拟验证"]
  G --> H["8 改变联合分布做敏感度分析"]

题干线索	该答	最易混的	判别关键
按时间滚动调参、下一期验证	Rolling-window backtest	Historical simulation	保留历史顺序
随机抽取过去整组收益	Historical simulation	Rolling window	放弃原时间顺序
从指定联合分布抽样	Monte Carlo	Historical simulation	抽的是模型分布
有放回抽历史观察	Bootstrapping	无放回抽样	样本可重复出现
只用当前存续成分	Survivorship bias	Data snooping	漏掉消失实体
使用后来才发布或修订的数据	Look-ahead bias	Survivorship bias	信息在决策时不可得
尝试大量策略后挑最好结果	Data snooping	合理模型选择	多重尝试造成假阳性
把历史分成衰退/扩张或高/低波动	Historical scenario analysis	全期平均回测	关注离散结构状态
改用 skewed t 分布重跑	Sensitivity analysis	增加模拟次数	改变的是输入分布设定