Test Statistics 检验统计量

一句话定义

检验统计量 (test statistic) 是将样本信息浓缩为一个数值，用于衡量样本数据与零假设之间的偏离程度，并据此做出拒绝或不拒绝 $H_0$ 的决策。

通用框架 Universal Framework

所有参数检验统计量都遵循同一个模板：

$\text{Test statistic}=\frac{\text{Sample statistic}-\text{Hypothesized value}}{\text{Standard error}}$

直觉：分子衡量”样本与假设有多远”，分母用标准误做标准化。比值越大，样本与 $H_0$ 越不一致，越应该拒绝 $H_0$。

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一、z-test（z 检验）

适用条件

• 总体方差 ${\sigma }^2$ 已知
• 或者样本量很大（$n\ge 30$），即使 $\sigma$ 未知，t 分布已近似正态，可以近似使用 z

计算公式

$z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$

其中：

• $\bar{X}$ = 样本均值（sample mean）
• ${\mu }_0$ = $H_0$ 假设的总体均值（hypothesized population mean）
• $\sigma$ = 已知的总体标准差（known population standard deviation）
• $n$ = 样本量（sample size）

分布特征

• 标准正态分布 $N(0,1)$
• 对称、钟形、无自由度参数
• 尾部比 t 分布薄（更集中于中心）

常用临界值

显著性水平 $\alpha$	单尾	双尾
10%	1.28	1.65
5%	1.65	1.96
1%	2.33	2.58

记忆口诀

1.65 / 1.96 / 2.58 是 CFA 考试中最常用的三个临界值，分别对应 单尾5%、双尾5%、双尾1%。

计算示例

问题：总体标准差已知为 $\sigma =10$。抽样 100 个观测值，样本均值 $\bar{X}=52$。检验 $H_0:\mu =50$ vs $H_a:\mu \ne 50$（$\alpha =5\%$）。

$z=\frac{52-50}{10/\sqrt{100}}=\frac{2}{1}=2.0$

双尾 5% 临界值 = 1.96。$|z|=2.0>1.96$，拒绝 $H_0$。

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二、t-test（t 检验）

适用条件

• 总体方差 ${\sigma }^2$ 未知，用样本标准差 $s$ 估计
• 总体近似正态分布（或 $n\ge 30$ 时由 CLT 保证）

实务中的核心检验

因为 $\sigma$ 在实际中几乎永远未知，所以 t-test 是最常用的检验。CFA 考试中，除非题目明确说 $\sigma$ 已知，否则一律用 t-test。

分布特征

• t 分布的形状由自由度 df 决定
• 比正态分布更”矮胖”：峰度更低、尾部更厚
• $df\to \infty$ 时，t 分布收敛为标准正态分布
• 当 $df\ge 30$ 时，t 分布已与 z 分布非常接近

2.1 单总体均值检验 (One-sample t-test)

$t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}},df=n-1$

其中：

• $s$ = 样本标准差（sample standard deviation）
• $df$ = 自由度（degrees of freedom）

场景：检验某资产的平均收益是否等于某个基准值。

示例：36 个月的基金月均超额收益 $\bar{X}=0.8\%$，$s=3.6\%$。检验 $H_0:\mu =0$（$\alpha =5\%$，双尾）。

$t=\frac{0.8\%-0}{3.6\%/\sqrt{36}}=\frac{0.8\%}{0.6\%}=1.33$

$df=35$，$t_{critical}\approx 2.03$。$1.33<2.03$，不拒绝 $H_0$。超额收益不显著。

2.2 两独立样本均值差检验 (Two-sample t-test, independent)

$t=\frac{({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)-({\mu }_1-{\mu }_2{)}_0}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}},df=n_1+n_2-2$

其中：

• $({\mu }_1-{\mu }_2{)}_0$ = $H_0$ 下的均值差假设值（通常为 0）
• $s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$ = 合并标准差（pooled standard deviation）

前提假设

使用合并标准差 $s_p$ 的前提是两总体方差相等（equal variances assumed）。如果方差不等，需使用 Welch’s t-test（CFA L1 一般假设方差相等）。

场景：比较两个投资策略/两组资产的平均收益是否有显著差异。

2.3 配对样本 t 检验 (Paired t-test)

$t=\frac{\bar{d}-{\mu }_{d0}}{s_d/\sqrt{n}},df=n-1$

其中：

• $\bar{d}$ = 配对差值的样本均值（mean of paired differences）
• ${\mu }_{d0}$ = $H_0$ 下的差值假设均值（通常为 0）
• $s_d$ = 配对差值的样本标准差（standard deviation of paired differences）
• $n$ = 配对的组数（number of pairs）

场景：同一只基金改策略前后的表现比较；同一组股票在不同市场环境下的收益比较。

示例：10 只基金改策略前后的平均收益差 $\bar{d}=1.5\%$，$s_d=2.8\%$。检验策略变更是否有效（$\alpha =5\%$，双尾）。

$t=\frac{1.5\%-0}{2.8\%/\sqrt{10}}=\frac{1.5\%}{0.885\%}=1.69$

$df=9$，$t_{critical}\approx 2.262$。$1.69<2.262$，不拒绝 $H_0$。策略变更的效果不显著。

2.4 相关系数显著性检验 (Correlation significance t-test)

$t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}},df=n-2$

其中：

• $r$ = 样本 相关系数（sample correlation coefficient）

场景：检验两个变量之间的相关性是否统计上显著不为零。

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三、Chi-square test（${\chi }^2$ 卡方检验）

3.1 单总体方差检验

适用条件

• 检验总体方差是否等于某个假设值
• 总体需为正态分布（对正态性假设更敏感！）

计算公式

${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2},df=n-1$

其中：

• $s^2$ = 样本方差（sample variance）
• ${\sigma }_0^2$ = $H_0$ 假设的总体方差（hypothesized population variance）

分布特征

• 非对称分布，始终 $\ge 0$（因为是方差之比，不可能为负）
• 右偏（right-skewed），随 df 增大逐渐趋向对称
• 双尾检验需要查两个临界值（上下各一个），不能简单用 $\pm$

考试陷阱

Chi-square 双尾检验时，上下两个临界值不是对称的！必须分别查 ${\chi }_{\alpha /2}^2$ 和 ${\chi }_{1-\alpha /2}^2$。

计算示例

问题：某基金宣称月度收益标准差 $\sigma =4\%$。24 个月样本数据 $s=3.8\%$。检验 $H_0:{\sigma }^2=0.0016$（$\alpha =5\%$，双尾）。

${\chi }^2=\frac{23\times (0.038{)}^2}{(0.04{)}^2}=\frac{23\times 0.001444}{0.0016}=20.76$

$df=23$，临界值：${\chi }_{0.975}^2=11.689$，${\chi }_{0.025}^2=38.076$

$11.689<20.76<38.076$，不拒绝 $H_0$。

3.2 列联表独立性检验 (Chi-Square Test of Independence)

适用条件

• 检验两个分类变量（categorical variables）是否独立

计算公式

${\chi }^2={\sum }_i{\sum }_j\frac{(O_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}},df=(r-1)(c-1)$

其中：

• $O_{ij}$ = 观测频数（observed frequency）
• $E_{ij}=\frac{{\text{Row}}_i\text{ total}\times {\text{Column}}_j\text{ total}}{\text{Grand total}}$ = 期望频数（expected frequency）
• $r$ = 行数（number of rows），$c$ = 列数（number of columns）

注意

独立性检验的 Chi-square 只看右尾：${\chi }^2$ 值越大，说明观测与”独立假设”偏离越大。

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四、F-test（F 检验）

适用条件

• 比较两个总体的方差是否相等
• 两总体均需为正态分布

计算公式

$F=\frac{s_1^2}{s_2^2},d{f}_1=n_1-1,d{f}_2=n_2-1$

关键规则：大方差放分子，使 $F\ge 1$，只查右尾临界值。

其中：

• $s_1^2$ = 较大的样本方差（larger sample variance → 分子）
• $s_2^2$ = 较小的样本方差（smaller sample variance → 分母）
• $d{f}_1$ = 分子自由度，$d{f}_2$ = 分母自由度

分布特征

• $F$ 值始终 $>0$
• 右偏分布
• 由两个自由度参数决定形状：$(d{f}_1,d{f}_2)$
• $F=1$ 表示两个方差完全相等

考试要点

F-test 是右尾检验：即使原假设是双尾的（$H_a:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$），也通过”大方差放分子”转化为只看右尾。这意味着如果原题是双尾 5%，你应查 $\alpha /2=2.5\%$ 的右尾临界值。

计算示例

问题：两个基金收益方差分别为 $s_1^2=0.0036$（$n_1=25$）和 $s_2^2=0.0016$（$n_2=21$）。$\alpha =5\%$ 检验两基金风险是否相等。

$F=\frac{0.0036}{0.0016}=2.25,df=(24,20)$

$F_{critical}(24,20,0.025)\approx 2.33$。$2.25<2.33$，不拒绝 $H_0$。两基金方差无显著差异。

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五、回归中的检验统计量

斜率系数 t 检验

$t=\frac{{\hat{b}}_1-0}{s_{{\hat{b}}_1}},df=n-2$

检验回归斜率是否显著不为零（$H_0:b_1=0$）。

回归整体 F 检验 (ANOVA F-test)

$F=\frac{MSR}{MSE}=\frac{RSS/k}{SSE/(n-k-1)}$

其中：

• $MSR$ = 回归均方（mean square regression）
• $MSE$ = 残差均方（mean square error）
• $k$ = 自变量个数（简单回归中 $k=1$）

检验整个回归模型是否有解释力（$H_0:$ 所有斜率系数 = 0）。

简单回归中的关系

在简单线性回归中，斜率 t 检验和 ANOVA F 检验完全等价：$F=t^2$。

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六、非参数检验 Non-parametric Tests

何时使用非参数检验？

1. 数据不满足正态性假设（极度偏斜、存在极端异常值）
2. 数据是排序/等级数据（ordinal data），不是连续数据
3. 样本量太小，无法依赖 CLT
4. 关注中位数而非均值

常见非参数方法

方法	目的	对应的参数检验
Spearman 秩相关	检验两变量的单调关系（不限于线性）	Pearson 相关系数 t 检验
Runs test	检验数据序列是否随机	无直接对应
Mann-Whitney U	比较两独立样本的中位数	独立样本 t-test
Wilcoxon signed-rank	比较配对样本的中位数差异	配对 t-test
Kruskal-Wallis	比较多组的中位数	One-way ANOVA

Spearman 秩相关

$r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}$

其中 $d_i$ = 第 $i$ 个观测的两组排名之差。

显著性检验（$n>30$ 时）：$t=\frac{r_s\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_s^2}}$，$df=n-2$

Pearson vs Spearman

• Pearson：衡量线性关系，要求正态分布
• Spearman：衡量单调关系（包括非线性单调），不要求正态分布
• 如果 $|r_s|>|r|$（秩相关比线性相关更强），提示可能存在非线性单调关系

参数 vs 非参数检验对比

	参数检验 Parametric	非参数检验 Non-parametric
分布假设	需要（通常正态）	不需要或很少
数据类型	连续数据	排序/等级数据也可
Power	假设成立时更强	通常较弱（需更大样本量）
适用场景	数据近似正态、样本足够大	分布未知、偏斜严重、存在异常值

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快速决策树 Quick Decision Tree

flowchart TD
    START["要检验什么？"] --> Q1{"检验<b>均值</b>？"}
    START --> Q2{"检验<b>方差</b>？"}
    START --> Q3{"检验<b>独立性</b>？"}
    START --> Q4{"检验<b>相关性</b>？"}

    Q1 -->|"单总体"| A1{"σ 已知？"}
    A1 -->|"是"| Z1["<b>z-test</b><br/>z = (X̄-μ₀)/(σ/√n)"]
    A1 -->|"否"| T1["<b>t-test</b><br/>df = n-1"]
    
    Q1 -->|"两独立样本"| A2{"方差是否相等？"}
    A2 -->|"相等"| T2["<b>Pooled t-test</b><br/>df = n₁+n₂-2"]
    A2 -->|"不等"| T2W["<b>Welch's t-test</b>"]
    
    Q1 -->|"配对样本"| T3["<b>Paired t-test</b><br/>df = n-1"]

    Q2 -->|"单总体"| CHI["<b>χ² test</b><br/>df = n-1"]
    Q2 -->|"两总体"| F1["<b>F-test</b><br/>大方差放分子<br/>df = (n₁-1, n₂-1)"]

    Q3 -->|"分类变量"| CHI2["<b>χ² 独立性检验</b><br/>df = (r-1)(c-1)"]

    Q4 -->|"正态数据"| PEAR["<b>Pearson t-test</b><br/>df = n-2"]
    Q4 -->|"非正态/排序数据"| SPEAR["<b>Spearman 秩相关</b>"]

    style Z1 fill:#e8f5e9
    style T1 fill:#e3f2fd
    style T2 fill:#e3f2fd
    style T2W fill:#e3f2fd
    style T3 fill:#e3f2fd
    style CHI fill:#fff3e0
    style F1 fill:#fce4ec
    style CHI2 fill:#fff3e0
    style PEAR fill:#e3f2fd
    style SPEAR fill:#f3e5f5

极简速查表

你要检验…	方差/分布情况	用什么检验	自由度
单总体均值	$\sigma$ 已知	z-test	—
单总体均值	$\sigma$ 未知	t-test	$n-1$
两独立样本均值差	方差相等	Pooled t-test	$n_1+n_2-2$
配对样本均值差	—	Paired t-test	$n-1$
单总体方差	正态总体	${\chi }^2$ test	$n-1$
两总体方差比	正态总体	F-test	$(n_1-1,n_2-1)$
两分类变量独立性	—	${\chi }^2$ 独立性检验	$(r-1)(c-1)$
相关系数 ≠ 0	正态	t-test	$n-2$
单调关系	非正态/排序	Spearman	$n-2$

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易混淆点 Common Confusions

必读：考试中最容易出错的地方

1. z-test vs t-test 选择

• 唯一区别：$\sigma$ 是否已知。已知 → z，未知 → t
• 实务中：$\sigma$ 几乎永远未知，所以几乎都用 t-test
• 大样本近似：当 $n\ge 30$ 时，t 分布近似 z 分布，两者结果几乎相同
• 考试默认：除非题目明确说”总体标准差已知”，否则用 t-test

2. 独立样本 vs 配对样本

• 独立样本：两组完全不同的观测对象（如两个不同基金）→ Pooled t-test
• 配对样本：同一组观测对象在两个条件下的比较（如同一基金策略变更前后）→ Paired t-test
• 关键判断：观测值之间是否有”天然配对”关系

3. Chi-square 的两种用途混淆

• 方差检验：${\chi }^2=(n-1)s^2/{\sigma }_0^2$，df = $n-1$
• 独立性检验：${\chi }^2=\sum (O-E{)}^2/E$，df = $(r-1)(c-1)$
• 两者公式完全不同！不要混用

4. F-test 陷阱

• 大方差一定放分子，不是”第一组放分子”
• 即使是双尾假设（$H_a:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$），也只看右尾
• 双尾检验时：$F_{critical}$ 应查 $\alpha /2$（不是 $\alpha$）的右尾值

5. Chi-square 双尾检验

• Chi-square 分布不对称，不能像 t/z 一样用 $\pm$ 同一个值
• 双尾检验需要查两个不同的临界值：${\chi }_{lower}^2$ 和 ${\chi }_{upper}^2$
• 落在两个临界值之间 → 不拒绝 $H_0$

6. 自由度记忆

• 单均值 t / 配对 t / Chi-square(方差)：df = n - 1
• 两独立样本 t：df = n₁ + n₂ - 2
• 相关系数 t / 回归斜率 t：df = n - 2
• F-test：df = (n₁-1, n₂-1)，两个自由度
• 独立性 Chi-square：df = (r-1)(c-1)

7. “不拒绝” ≠ “接受”

• “Fail to reject $H_0$” ≠ “Accept $H_0$”
• 不拒绝只是说证据不足，不是说 $H_0$ 为真

8. 统计显著 ≠ 经济意义

• 统计上显著（statistically significant）只是说偏差不太可能由随机误差造成
• 不代表这个偏差在经济/投资决策中有实际意义
• 大样本时，极小的差异也可能统计显著

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考试要点 Exam Focus

必考

• 通用公式：$\text{Test stat}=\frac{\text{样本}-\text{假设}}{\text{标准误}}$
• z 临界值必须背：1.65（单尾5%）、1.96（双尾5%）、2.58（双尾1%）
• t-test 是默认选择（因为 $\sigma$ 几乎永远未知）
• F-test 大方差放分子，只看右尾
• Chi-square 双尾需查两个不对称的临界值
• 非参数检验适用于：不满足正态性假设、排序数据、样本太小
• Power = $1-\beta$，增大样本量可以提高 Power

涉及科目 Appears In

• 数量方法 R8 (Hypothesis Testing), R9 (Tests of Independence), R10 (Regression significance tests)
• 经济学 — 政策效果的统计检验
• 组合管理 — Alpha 显著性检验、业绩归因
• 权益投资 — 回归系数显著性检验

相关概念 Related Concepts

• 假设检验 — 检验统计量是假设检验框架的核心工具
• 中心极限定理 — 为 z/t 检验提供理论基础（大样本下样本均值近似正态）
• 相关系数 — 相关系数的显著性检验使用 t 统计量
• 标准差 — 标准误的计算依赖标准差；方差检验的核心对象