Hypothesis Testing 假设检验

一句话定义

假设检验是一套基于样本数据判断关于总体参数的某个陈述（假设）是否应该被拒绝的统计推断框架。

概念解析 Explanation

假设检验的核心逻辑是反证法：

1. 先假设一个”无聊”的结论成立（null hypothesis, $H_0$）
2. 从样本数据计算一个检验统计量
3. 看这个统计量在 $H_0$ 为真时出现的可能性有多低
4. 如果太不可能出现（低于显著性水平 $\alpha$），就拒绝 $H_0$

Null Hypothesis $H_0$：研究者想要拒绝的假设，始终包含”=“号。例如 $H_0:\mu =0$。

Alternative Hypothesis $H_a$：研究者想要证明的假设。例如 $H_a:\mu \ne 0$（双尾）或 $H_a:\mu >0$（单尾）。

关键原则：

• 我们只能”拒绝 $H_0$“或”未能拒绝 $H_0$“，永远不说”接受 $H_0$”
• 未能拒绝不等于证明为真，只是证据不足以推翻

核心公式 Formula

通用检验统计量：

$\text{Test statistic}=\frac{\text{Sample statistic}-\text{Hypothesized value}}{\text{Standard error}}$

各检验汇总：

检验对象	统计量	分布	df
单总体均值	$t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$	t	$n-1$
两总体均值差	$t=\frac{({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)-0}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$	t	$n_1+n_2-2$
配对均值差	$t=\frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}$	t	$n-1$
单总体方差	${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}$	${\chi }^2$	$n-1$
两总体方差比	$F=s_1^2/s_2^2$	F	$n_1-1,n_2-1$

p-value：假设 $H_0$ 为真时，观测到当前检验统计量或更极端值的概率。$p<\alpha$ 则拒绝 $H_0$。

图解 Visual

flowchart TD
    S["1. 建立假设<br/>H₀ 和 Hₐ"] --> T["2. 选择检验统计量<br/>t / z / χ² / F"]
    T --> U["3. 确定显著性水平 α<br/>常用: 5%"]
    U --> V["4. 计算检验统计量"]
    V --> W{"5. 统计量落在<br/>拒绝域内？"}
    W -->|"是"| X["拒绝 H₀"]
    W -->|"否"| Y["未能拒绝 H₀"]

Type I & Type II Error 决策矩阵：

	$H_0$ 为真	$H_0$ 为假
不拒绝 $H_0$	正确 (1-$\alpha$)	Type II ($\beta$)
拒绝 $H_0$	Type I ($\alpha$)	正确 (Power = 1-$\beta$)

计算示例 Worked Example

问题：250 天的期权组合日均收益 0.1%，样本标准差 0.25%。在 5% 显著性水平下检验日均收益是否不等于零。

Step 1 假设：$H_0:\mu =0,H_a:\mu \ne 0$（双尾）

Step 2 标准误：$s_{\bar{X}}=0.25\%/\sqrt{250}=0.0158\%$

Step 3 检验统计量：$t=(0.1\%-0)/0.0158\%=6.33$

Step 4 临界值：双尾 5%，$t_{critical}\approx 1.96$（$n$ 大，近似 $z$）

Step 5 决策：6.33 > 1.96$，拒绝$H_0$。有统计学证据表明日均收益显著不为零。

考试要点 Exam Focus

必考

• $H_0$ 永远包含”=“号
• 记住常用 z 临界值：1.65 (单尾 5%), 1.96 (双尾 5%), 2.58 (双尾 1%)
• Type I error = $\alpha$ = 拒绝真的 $H_0$；Type II error = $\beta$ = 不拒绝假的 $H_0$
• Power = 1-\beta$；增大样本量可以同时提高power和降低$\beta$
• 降低 $\alpha$ 会增大 $\beta$（在样本量不变时有 trade-off）
• F-test 中大方差放分子，只看右尾
• Chi-square 分布不对称，双尾检验需要查两个临界值

涉及科目 Appears In

• 数量方法 R8 (Hypothesis Testing), R9 (Tests of Independence), R10 (Regression significance tests)
• 经济学 — 政策效果检验
• 组合管理 — Alpha 显著性检验
• 权益投资 — 回归系数检验

相关概念 Related Concepts

• 中心极限定理 — 假设检验的理论基础
• 标准差 — 标准误的计算依赖标准差
• 相关系数 — 可用 t 检验检验其显著性